Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Олимпиадная задача с радикалом
СообщениеДобавлено: 19 фев 2018, 22:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 июн 2014, 00:28
Сообщений: 40
Cпасибо сказано: 29
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пример из олимпиады "Покори Воробьёвы горы"
[math](\sqrt{x}) ^ {2016} + (\sqrt{1- x}) ^ {2016} = 1[/math]
Находим ОДЗ
[math]\boldsymbol{x} \geqslant 0[/math]
[math]\boldsymbol{1 - x} \geqslant 0[/math]
Следовательно [math]\boldsymbol{x} \in [0,1][/math]
Подставим 0 и 1 в исходное уравнение. Получаем, что при данных решениях уравнение верно.
Как доказать (или опровергнуть), что не существует нецелочисленных решений?
Уравнение [math](\sqrt{x}) ^ {2016} + (\sqrt{1- x}) ^ {2016} = 1[/math] равносильно уравнению [math](x) ^ {1008} + (1- x) ^ {1008} = 1[/math]
Может, можно показать, что при "маленьких" чётных степенях функция является параболой, т.е.
[math](x) ^ {2} + (1- x) ^ {2} = 1[/math] является параболой (корни 0 и 1),
[math](x) ^ {4} + (1- x) ^ {4} = 1[/math] является параболой (корни 0 и 1),
[math](x) ^ {6} + (1- x) ^ {6} = 1[/math] является параболой (корни 0 и 1),
а следовательно [math](x) ^ {1008} + (1- x) ^ {1008} = 1[/math] является параболой (корни 0 и 1).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача с радикалом
СообщениеДобавлено: 19 фев 2018, 23:25 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x^{2n} = 1 - \left( x-1 \right)^{2n}[/math]
[math]x = t + \frac{ 1 }{ 2 }[/math] [math]1 - x = \frac{ 1 }{ 2 } -t[/math]

[math]\left( t + \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{2n} = 1 - \left(t-\frac{ 1 }{ 2 }\right )^{2n}[/math]

Слева монотонно возрастающая на ОДЗ непрерывная функция, справа убывающая.
Следовательно между 0 и 1 не должно быть третьего корня.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали:
dserp18
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача с радикалом
СообщениеДобавлено: 20 фев 2018, 03:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2719
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
835 раз в 668 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поскольку из ОДЗы [math]0\leqslant x \leqslant 1,[/math] то можно сделать замену [math]x=\sin^2t, \, 0\leqslant t \leqslant \frac\pi2[/math], в результате которой уравнение превращается в [math]\sin^Nt+\cos^Nt=1, \, N=2016[/math].
Отсюда при [math]N>2[/math] сразу следует, что либо либо синус нулевой либо косинус
(ибо иначе [math]\small\sin^Nt<\sin^2t, \,\, \cos^Nt<\cos^2t[/math] и поэтому [math]\small\sin^Nt+\cos^Nt<1[/math]).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
dserp18, venjar
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задача с радикалом
СообщениеДобавлено: 20 фев 2018, 11:52 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Или просто без замен: при [math]x\in(0,1)[/math] [math]x^{1008}+(1-x)^{1008}<x+(1-x)=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
AGN, dr Watson, dserp18
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Олимпиадная задача

в форуме Геометрия

Avgust

14

464

23 авг 2021, 15:20

Олимпиадная задача

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

ivan1212

3

859

10 окт 2016, 21:57

Олимпиадная задача

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Fyodor272000

12

588

18 фев 2022, 16:36

Олимпиадная задача

в форуме Алгебра

R_A_S

1

168

09 окт 2019, 18:21

Олимпиадная задача

в форуме Геометрия

balbes_228

3

284

13 ноя 2022, 14:59

Олимпиадная задача

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Timur45345374867

12

753

26 авг 2020, 20:04

Задача олимпиадная

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Lyuda

10

851

19 фев 2017, 02:09

Олимпиадная задача

в форуме Механика

wrobel

0

465

18 окт 2015, 12:51

Олимпиадная задача

в форуме Теория вероятностей

prostachok

1

231

29 янв 2021, 20:18

Олимпиадная задача

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Fyodor272000

1

292

11 мар 2022, 17:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved