Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
dserp18 |
|
|
[math](\sqrt{x}) ^ {2016} + (\sqrt{1- x}) ^ {2016} = 1[/math] Находим ОДЗ [math]\boldsymbol{x} \geqslant 0[/math] [math]\boldsymbol{1 - x} \geqslant 0[/math] Следовательно [math]\boldsymbol{x} \in [0,1][/math] Подставим 0 и 1 в исходное уравнение. Получаем, что при данных решениях уравнение верно. Как доказать (или опровергнуть), что не существует нецелочисленных решений? Уравнение [math](\sqrt{x}) ^ {2016} + (\sqrt{1- x}) ^ {2016} = 1[/math] равносильно уравнению [math](x) ^ {1008} + (1- x) ^ {1008} = 1[/math] Может, можно показать, что при "маленьких" чётных степенях функция является параболой, т.е. [math](x) ^ {2} + (1- x) ^ {2} = 1[/math] является параболой (корни 0 и 1), [math](x) ^ {4} + (1- x) ^ {4} = 1[/math] является параболой (корни 0 и 1), [math](x) ^ {6} + (1- x) ^ {6} = 1[/math] является параболой (корни 0 и 1), а следовательно [math](x) ^ {1008} + (1- x) ^ {1008} = 1[/math] является параболой (корни 0 и 1). |
||
Вернуться к началу | ||
Anatole |
|
|
[math]x^{2n} = 1 - \left( x-1 \right)^{2n}[/math]
[math]x = t + \frac{ 1 }{ 2 }[/math] [math]1 - x = \frac{ 1 }{ 2 } -t[/math] [math]\left( t + \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{2n} = 1 - \left(t-\frac{ 1 }{ 2 }\right )^{2n}[/math] Слева монотонно возрастающая на ОДЗ непрерывная функция, справа убывающая. Следовательно между 0 и 1 не должно быть третьего корня. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали: dserp18 |
||
dr Watson |
|
|
Поскольку из ОДЗы [math]0\leqslant x \leqslant 1,[/math] то можно сделать замену [math]x=\sin^2t, \, 0\leqslant t \leqslant \frac\pi2[/math], в результате которой уравнение превращается в [math]\sin^Nt+\cos^Nt=1, \, N=2016[/math].
Отсюда при [math]N>2[/math] сразу следует, что либо либо синус нулевой либо косинус (ибо иначе [math]\small\sin^Nt<\sin^2t, \,\, \cos^Nt<\cos^2t[/math] и поэтому [math]\small\sin^Nt+\cos^Nt<1[/math]). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: dserp18, venjar |
||
Slon |
|
|
Или просто без замен: при [math]x\in(0,1)[/math] [math]x^{1008}+(1-x)^{1008}<x+(1-x)=1[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали: AGN, dr Watson, dserp18 |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Олимпиадная задача
в форуме Геометрия |
14 |
464 |
23 авг 2021, 15:20 |
|
Олимпиадная задача | 3 |
859 |
10 окт 2016, 21:57 |
|
Олимпиадная задача
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
12 |
588 |
18 фев 2022, 16:36 |
|
Олимпиадная задача
в форуме Алгебра |
1 |
168 |
09 окт 2019, 18:21 |
|
Олимпиадная задача
в форуме Геометрия |
3 |
284 |
13 ноя 2022, 14:59 |
|
Олимпиадная задача | 12 |
753 |
26 авг 2020, 20:04 |
|
Задача олимпиадная | 10 |
851 |
19 фев 2017, 02:09 |
|
Олимпиадная задача
в форуме Механика |
0 |
465 |
18 окт 2015, 12:51 |
|
Олимпиадная задача
в форуме Теория вероятностей |
1 |
231 |
29 янв 2021, 20:18 |
|
Олимпиадная задача | 1 |
292 |
11 мар 2022, 17:47 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |