Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение с факториалом
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 00:54 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решить уравнение
[math]x^{2} + 19x - x! = 0[/math]

Подскажите как правильно решать такие задачи.

Я сделал следующее:
[math]x + 19 = (x-1)![/math]
[math]x + 19 \geqslant (x-1)(x-2)[/math]
[math]x + 19 \geqslant x^{2} - 3x + 2[/math]
[math]x^{2} - 4x - 16 \leqslant 0[/math]

Решая квадратное уравнение, находим, что [math]x \in [1,6][/math]

А дальше перебором находим решение [math]x = 5[/math]

Вот мне этот перебор и не нравится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с факториалом
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 01:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Без перебора вряд ли получится. Но если учесть, что [math]x![/math] растёт сильно быстрее чем [math]x^2[/math], то это не будет большой перебор. :)
Особенно, если наличие факториала прямо указывает на то, что решение ищется в целых неотрицательных. Потому что, если факториал рассматривать на области вещественных чисел, то численными методами находятся и другие корни.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с факториалом
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 02:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добавить нечего. Молодец. 5+

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с факториалом
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 21:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще есть приближенное положительное решение x=0.051.

Нашел графически:

Изображение


Последний раз редактировалось Avgust 01 фев 2018, 22:08, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с факториалом
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 22:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Еще есть приближенное решение x=0.051.

Как находили факториал этого числа? Через гамма-функцию?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с факториалом
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 22:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, через Гамма-функцию:

[math]x^2+19x-\Gamma(x+1)=0[/math]

На рисунке я привел команду в Мапл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с факториалом
СообщениеДобавлено: 02 фев 2018, 00:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Да, через Гамма-функцию:

[math]x^2+19x-\Gamma(x+1)=0[/math]


численное решение смотрите здесь

Решения

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с факториалом
СообщениеДобавлено: 02 фев 2018, 00:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
здесь насчитывается несколько корне около 20ти, наверное, наберётся

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с факториалом
СообщениеДобавлено: 02 фев 2018, 08:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Но положительных решений - только два.
http://m.wolframalpha.com/input/?i=plot%28x%5E2+%2B+19x+-+Gamma%28x%2B1%29%2Cx%3D0..7%29

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с факториалом
СообщениеДобавлено: 11 фев 2018, 14:51 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пришло в голову вот такое решение:
Подскажите, можно ли считать, что это решение выполнено без перебора:

[math]x^{2} + 19x - x! = 0[/math]
[math]x^{2} + 19x = x![/math]
[math]x + 19 = (x - 1)![/math]

для удобства делаем замену [math]x - 1 = y[/math]

[math](y + 1) + 19 = y![/math]
[math]y! - y = 20[/math]
[math]y((y - 1)! - 1) = 20[/math]

для удобства делаем замену [math]y - 1 = z[/math]

[math](z + 1)(z! - 1) = 20[/math]

рассмотрим все возможные варианты, при которых выполняется это равенство (т.е. разложим 20 на множители)

[math]z + 1 = 20, z = 19[/math] [math]z! - 1 = 1, z! = 2[/math]
[math]z + 1 = 10, z = 9[/math] [math]z! - 1 = 2, z! = 3[/math]
[math]z + 1 = 5, z = 4[/math] [math]z! - 1 = 4, z! = 5[/math]
[math]z + 1 = 4, z = 3[/math] [math]z! - 1 = 5, z! = 6[/math]
[math]z + 1 = 2, z = 1[/math] [math]z! - 1 = 10, z! = 11[/math]
[math]z + 1 = 1, z = 0[/math] [math]z! - 1 = 20, z! = 21[/math]

единственно верный вариант [math]z[/math] и [math]z![/math] это [math]z = 3, z! = 6[/math]

следовательно [math]y = 4, x = 5[/math]

Ответ: [math]x = 5[/math]


Вот не знаю можно ли считать приведенный способ перебором
С другой стороны я не использовал неравенства, как в первом моем примере

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение с факториалом

в форуме Теория чисел

Claudia

6

584

21 май 2018, 10:24

Предел с факториалом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Cesium

2

264

02 май 2018, 14:24

Предел с факториалом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

pupik

1

351

18 янв 2019, 15:33

Предел с факториалом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

studenenter

2

692

08 апр 2015, 19:47

Предел последовательности с факториалом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

alekscooper

6

618

25 июн 2018, 10:59

Как исследовать на сходимость ряд с факториалом?

в форуме Ряды

grigori_009

2

154

01 ноя 2021, 11:22

Доказать неравенство с факториалом

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mathhelp

5

1246

27 май 2015, 19:18

Найти предел с факториалом n

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Antudud

2

404

25 янв 2019, 12:55

Предел с факториалом / Математика

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ekat

3

404

03 апр 2014, 08:57

Найти сумму ряда с факториалом

в форуме Ряды

an2ancan

3

2049

28 фев 2018, 18:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved