Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Fireman |
|
|
Встретил олимпиадную задачку для 10 класса: Доказать, что если у уравнения [math]2\times x^{2} - 1 = y^{15}[/math] есть натуральные решения, то для [math]x>1[/math] [math]x[/math] обязано делиться на 5 Доказательство полное давать не надо - скажите куда смотреть. 1) Попробовал с остатками - из этого ничего не вышло (хотя наверное все-таки через остатки надо решать). 2) попробовал через Бином Ньютона из уравнения видно, что y - нечетное, поэтому его можно представить в виде [math]2\times n - 1[/math] тогда [math]2\times x^{2} = y^{15} + 1[/math] [math]2\times x^{2} = ((2n)^{15} - 15 \times (2n) ^{14} + (2n) ^{13} \times \frac{ 15! }{ 2! 13! } - ... + (2n) \times 15 - 1) + 1[/math] [math]x^{2} =2^{14} \times n^{15} + 15n \times C(n)[/math] и вот тут встрял тоже т.е. если x делится на 5, то [math]n^{15}[/math] должно делиться на 5, но как это доказать не вижу |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
То что нужно разложите на множители так как нужно с нужным НСД
Вы же просили только подсказать |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
[math]2x^2=(y^5+1)(y^{10}-y^5+1)[/math]
Произведение двух сомножителей в правой части дает удвоенный квадрат. НОД этих множителей может принимать немного значений (какие?) Значит каждый из этих множителей - это либо квадрат, либо квадрат, умноженный на что-то. Переберите все варианты, их немного. Вот так, например: 1. [math]\gcd(y^5+1;y^{10}-y^5+1)=1[/math] Тогда [math]\left\{\!\begin{aligned} & y^5+1=2u^2 \\ & y^{10}-y^5 +1 = t^2 \end{aligned}\right.[/math] (почему?) Но [math]y^{10}-y^5 +1[/math] при [math]y>1[/math] не может являться квадратом (почему?). 2. [math]\gcd(y^5+1;y^{10}-y^5+1)= ...[/math] Тогда ... |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
swan, Вы точно хотите на эти множители разложить?
|
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Ну да. По крайней мере для этого разложения до полного доказательства я дошел (половину написал, вторая вроде не сложнее).
Возможно при другом разложении решение будет проще, я не смотрел. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Олимпиадная задачка | 4 |
223 |
07 фев 2024, 15:05 |
|
Олимпиадная задачка | 2 |
321 |
10 окт 2019, 16:39 |
|
Олимпиадная задачка 4 класс
в форуме Алгебра |
2 |
358 |
12 июл 2020, 23:20 |
|
Некоторая олимпиадная задачка | 0 |
108 |
07 фев 2024, 15:29 |
|
Задачка на делимость
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
18 |
547 |
12 окт 2020, 23:28 |
|
Задачка на логику про делимость | 1 |
190 |
16 май 2020, 13:22 |
|
Олимпиадная | 14 |
932 |
06 янв 2015, 17:53 |
|
Олимпиадная задача
в форуме Теория вероятностей |
1 |
231 |
29 янв 2021, 20:18 |
|
Олимпиадная задача
в форуме Геометрия |
14 |
464 |
23 авг 2021, 15:20 |
|
Олимпиадная комбинаторика | 29 |
1803 |
19 июл 2014, 11:30 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |