Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Олимпиадная задачка про делимость
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 15:09 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую

Встретил олимпиадную задачку для 10 класса:

Доказать, что если у уравнения
[math]2\times x^{2} - 1 = y^{15}[/math]
есть натуральные решения, то для [math]x>1[/math] [math]x[/math] обязано делиться на 5

Доказательство полное давать не надо - скажите куда смотреть.

1) Попробовал с остатками - из этого ничего не вышло (хотя наверное все-таки через остатки надо решать).
2) попробовал через Бином Ньютона

из уравнения видно, что y - нечетное, поэтому его можно представить в виде [math]2\times n - 1[/math]
тогда
[math]2\times x^{2} = y^{15} + 1[/math]

[math]2\times x^{2} = ((2n)^{15} - 15 \times (2n) ^{14} + (2n) ^{13} \times \frac{ 15! }{ 2! 13! } - ... + (2n) \times 15 - 1) + 1[/math]
[math]x^{2} =2^{14} \times n^{15} + 15n \times C(n)[/math]

и вот тут встрял тоже :) т.е. если x делится на 5, то [math]n^{15}[/math] должно делиться на 5, но как это доказать не вижу

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задачка про делимость
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 15:51 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
То что нужно разложите на множители так как нужно с нужным НСД
Вы же просили только подсказать

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задачка про делимость
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 15:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]2x^2=(y^5+1)(y^{10}-y^5+1)[/math]
Произведение двух сомножителей в правой части дает удвоенный квадрат.
НОД этих множителей может принимать немного значений (какие?)
Значит каждый из этих множителей - это либо квадрат, либо квадрат, умноженный на что-то. Переберите все варианты, их немного.
Вот так, например:
1. [math]\gcd(y^5+1;y^{10}-y^5+1)=1[/math]

Тогда

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& y^5+1=2u^2 \\ & y^{10}-y^5 +1 = t^2 \end{aligned}\right.[/math]


(почему?)

Но [math]y^{10}-y^5 +1[/math] при [math]y>1[/math] не может являться квадратом (почему?).

2. [math]\gcd(y^5+1;y^{10}-y^5+1)= ...[/math]
Тогда ...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задачка про делимость
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 16:13 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, Вы точно хотите на эти множители разложить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиадная задачка про делимость
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 16:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну да. По крайней мере для этого разложения до полного доказательства я дошел (половину написал, вторая вроде не сложнее).
Возможно при другом разложении решение будет проще, я не смотрел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Олимпиадная задачка

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Viktim

4

223

07 фев 2024, 15:05

Олимпиадная задачка

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

ArsenyCh

2

321

10 окт 2019, 16:39

Олимпиадная задачка 4 класс

в форуме Алгебра

Sunrice

2

358

12 июл 2020, 23:20

Некоторая олимпиадная задачка

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Viktim

0

108

07 фев 2024, 15:29

Задачка на делимость

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

IvanPetrovPRO

18

547

12 окт 2020, 23:28

Задачка на логику про делимость

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

rancid_rot

1

190

16 май 2020, 13:22

Олимпиадная

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

AlexKhari

14

932

06 янв 2015, 17:53

Олимпиадная задача

в форуме Теория вероятностей

prostachok

1

231

29 янв 2021, 20:18

Олимпиадная задача

в форуме Геометрия

Avgust

14

464

23 авг 2021, 15:20

Олимпиадная комбинаторика

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Fin the human

29

1803

19 июл 2014, 11:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved