Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Произведение цифр не оканчивается на 11
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=55497
Страница 1 из 2

Автор:  Xenia1996 [ 23 авг 2017, 23:51 ]
Заголовок сообщения:  Произведение цифр не оканчивается на 11

Доказать, что не существует натурального числа, произведение десятичных цифр которого оканчивается на 11.

Автор:  Booker48 [ 24 авг 2017, 02:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Произведение цифр не оканчивается на 11

Понятно, что число должно состоять только из 1, 3, 7, 9. Причем 3-ки и 7-ки должны входить в равных количествах, а число 9-к должно быть чётным - только в этом случае произведение цифр будет заканчиваться хотя бы на 1. Это значит, что искомое произведение должно быть вида [math]21^k 81^l[/math].
Несложно увидеть, что такие произведения могут заканчиваться только на 01, 21, 41, 61, 81.

Автор:  Xenia1996 [ 24 авг 2017, 11:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Произведение цифр не оканчивается на 11

Booker48
От 1 и 9 можно вообще избавиться, так как 1 на произведение не влияет, а 9 всегда можно заменить двумя тройками.
И тогда идея такова: [math]3\cdot 7[/math] даёт остаток 1 при делении как на 4, так и на 5. Поэтому если в паре тройка и семёрка, они "взаимоуничтожают друг друга". Теперь смотрим - с одной стороны, разность между количеством троек и количеством семёрок должна быть нечётна, чтобы давать остаток 3 при делении на 4, а с другой должна быть чётна, чтобы давать остаток 1 при делении на 5 - ПРОТИВОРЕЧИЕ

Автор:  bimol [ 24 авг 2017, 12:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Произведение цифр не оканчивается на 11

Следствие: произведение десятичных цифр не может оканчиваться на одинаковые цифры.
На какие еще комбинации не может оканчиваться произведение?

Автор:  Zatamon [ 24 авг 2017, 13:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Произведение цифр не оканчивается на 11

bimol писал(а):
Следствие: произведение десятичных цифр не может оканчиваться на одинаковые цифры.

Странное "следствие"
На какие цифры заканчивается произведения цифер числа 289?

Автор:  Zatamon [ 24 авг 2017, 13:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Произведение цифр не оканчивается на 11

bimol писал(а):
На какие еще комбинации не может оканчиваться произведение?

Ну, для взаимнопростых с 10 для 2цифровых комбинаций - только на последние цифры степеней тройки

Автор:  bimol [ 24 авг 2017, 13:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Произведение цифр не оканчивается на 11

bimol писал(а):
Следствие: произведение десятичных цифр не может оканчиваться на одинаковые цифры.

Лоханулся, контрпример: 222233

Автор:  Booker48 [ 24 авг 2017, 14:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Произведение цифр не оканчивается на 11

bimol писал(а):
На какие еще комбинации не может оканчиваться произведение?

На 31, 51, 71, 91

Автор:  bimol [ 26 авг 2017, 08:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Произведение цифр не оканчивается на 11

Может оканчиваться на четную цифру: 22, 26 ?

Автор:  Andy [ 26 авг 2017, 09:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Произведение цифр не оканчивается на 11

Xenia1996
Из заданий какой олимпиады взята сформулированная Вами задача?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/