Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Произведение цифр не оканчивается на 11 http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=55497 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | Xenia1996 [ 23 авг 2017, 22:51 ] |
Заголовок сообщения: | Произведение цифр не оканчивается на 11 |
Доказать, что не существует натурального числа, произведение десятичных цифр которого оканчивается на 11. |
Автор: | Booker48 [ 24 авг 2017, 01:58 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Произведение цифр не оканчивается на 11 |
Понятно, что число должно состоять только из 1, 3, 7, 9. Причем 3-ки и 7-ки должны входить в равных количествах, а число 9-к должно быть чётным - только в этом случае произведение цифр будет заканчиваться хотя бы на 1. Это значит, что искомое произведение должно быть вида [math]21^k 81^l[/math]. Несложно увидеть, что такие произведения могут заканчиваться только на 01, 21, 41, 61, 81. |
Автор: | Xenia1996 [ 24 авг 2017, 10:11 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Произведение цифр не оканчивается на 11 |
Booker48 От 1 и 9 можно вообще избавиться, так как 1 на произведение не влияет, а 9 всегда можно заменить двумя тройками. И тогда идея такова: [math]3\cdot 7[/math] даёт остаток 1 при делении как на 4, так и на 5. Поэтому если в паре тройка и семёрка, они "взаимоуничтожают друг друга". Теперь смотрим - с одной стороны, разность между количеством троек и количеством семёрок должна быть нечётна, чтобы давать остаток 3 при делении на 4, а с другой должна быть чётна, чтобы давать остаток 1 при делении на 5 - ПРОТИВОРЕЧИЕ |
Автор: | bimol [ 24 авг 2017, 11:58 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Произведение цифр не оканчивается на 11 |
Следствие: произведение десятичных цифр не может оканчиваться на одинаковые цифры. На какие еще комбинации не может оканчиваться произведение? |
Автор: | Zatamon [ 24 авг 2017, 12:19 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Произведение цифр не оканчивается на 11 |
bimol писал(а): Следствие: произведение десятичных цифр не может оканчиваться на одинаковые цифры. Странное "следствие" На какие цифры заканчивается произведения цифер числа 289? |
Автор: | Zatamon [ 24 авг 2017, 12:20 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Произведение цифр не оканчивается на 11 |
bimol писал(а): На какие еще комбинации не может оканчиваться произведение? Ну, для взаимнопростых с 10 для 2цифровых комбинаций - только на последние цифры степеней тройки |
Автор: | bimol [ 24 авг 2017, 12:42 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Произведение цифр не оканчивается на 11 |
bimol писал(а): Следствие: произведение десятичных цифр не может оканчиваться на одинаковые цифры. Лоханулся, контрпример: 222233 |
Автор: | Booker48 [ 24 авг 2017, 13:24 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Произведение цифр не оканчивается на 11 |
bimol писал(а): На какие еще комбинации не может оканчиваться произведение? На 31, 51, 71, 91 |
Автор: | bimol [ 26 авг 2017, 07:14 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Произведение цифр не оканчивается на 11 |
Может оканчиваться на четную цифру: 22, 26 ? |
Автор: | Andy [ 26 авг 2017, 08:37 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Произведение цифр не оканчивается на 11 |
Xenia1996 Из заданий какой олимпиады взята сформулированная Вами задача? |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |