Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Произведение цифр не оканчивается на 11
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 22:51 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 240
Откуда: Киббуц Кабри
Cпасибо сказано: 232
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказать, что не существует натурального числа, произведение десятичных цифр которого оканчивается на 11.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Произведение цифр не оканчивается на 11
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 01:58 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 1407
Cпасибо сказано: 106
Спасибо получено:
255 раз в 233 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Понятно, что число должно состоять только из 1, 3, 7, 9. Причем 3-ки и 7-ки должны входить в равных количествах, а число 9-к должно быть чётным - только в этом случае произведение цифр будет заканчиваться хотя бы на 1. Это значит, что искомое произведение должно быть вида [math]21^k 81^l[/math].
Несложно увидеть, что такие произведения могут заканчиваться только на 01, 21, 41, 61, 81.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Произведение цифр не оканчивается на 11
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 10:11 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 240
Откуда: Киббуц Кабри
Cпасибо сказано: 232
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
От 1 и 9 можно вообще избавиться, так как 1 на произведение не влияет, а 9 всегда можно заменить двумя тройками.
И тогда идея такова: [math]3\cdot 7[/math] даёт остаток 1 при делении как на 4, так и на 5. Поэтому если в паре тройка и семёрка, они "взаимоуничтожают друг друга". Теперь смотрим - с одной стороны, разность между количеством троек и количеством семёрок должна быть нечётна, чтобы давать остаток 3 при делении на 4, а с другой должна быть чётна, чтобы давать остаток 1 при делении на 5 - ПРОТИВОРЕЧИЕ

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Произведение цифр не оканчивается на 11
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 11:58 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
13 дек 2015, 17:51
Сообщений: 829
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
132 раз в 119 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Следствие: произведение десятичных цифр не может оканчиваться на одинаковые цифры.
На какие еще комбинации не может оканчиваться произведение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Произведение цифр не оканчивается на 11
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 12:19 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
01 дек 2015, 04:09
Сообщений: 124
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
25 раз в 21 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bimol писал(а):
Следствие: произведение десятичных цифр не может оканчиваться на одинаковые цифры.

Странное "следствие"
На какие цифры заканчивается произведения цифер числа 289?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Произведение цифр не оканчивается на 11
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 12:20 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
01 дек 2015, 04:09
Сообщений: 124
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
25 раз в 21 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bimol писал(а):
На какие еще комбинации не может оканчиваться произведение?

Ну, для взаимнопростых с 10 для 2цифровых комбинаций - только на последние цифры степеней тройки

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Произведение цифр не оканчивается на 11
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 12:42 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
13 дек 2015, 17:51
Сообщений: 829
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
132 раз в 119 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bimol писал(а):
Следствие: произведение десятичных цифр не может оканчиваться на одинаковые цифры.

Лоханулся, контрпример: 222233

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Произведение цифр не оканчивается на 11
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 13:24 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 1407
Cпасибо сказано: 106
Спасибо получено:
255 раз в 233 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bimol писал(а):
На какие еще комбинации не может оканчиваться произведение?

На 31, 51, 71, 91

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Произведение цифр не оканчивается на 11
СообщениеДобавлено: 26 авг 2017, 07:14 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
13 дек 2015, 17:51
Сообщений: 829
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
132 раз в 119 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может оканчиваться на четную цифру: 22, 26 ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Произведение цифр не оканчивается на 11
СообщениеДобавлено: 26 авг 2017, 08:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 17674
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1233
Спасибо получено:
3772 раз в 3491 сообщениях
Очков репутации: 714

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xenia1996
Из заданий какой олимпиады взята сформулированная Вами задача?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сумма 200, а произведение оканчивается на 2017

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

0

139

10 авг 2017, 15:13

Найти произведение цифр

в форуме Алгебра

vmv0810

1

88

20 мар 2017, 22:47

Произведение цифр заданного числа

в форуме Теория чисел

Minotaur

1

633

22 мар 2011, 05:45

Вероятность, что произведение 2 последних цифр автомобиля

в форуме Теория вероятностей

Mary111

1

743

16 ноя 2015, 16:31

Сколькими нулями оканчивается

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Nadzor_26

6

1706

04 июн 2014, 20:00

Как найти такую степень числа 7, которая оканчивается 001

в форуме Теория чисел

sofiiko

4

807

22 апр 2012, 15:30

Скалярное произведение(серия заданий) Векторное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

AnarchyCat

2

865

30 сен 2012, 22:32

Вычислить векторное произведение и скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

GRAND799

8

348

28 янв 2016, 14:46

Задача, Из цифр 1,2,3,4,5

в форуме Теория вероятностей

lamerok555

4

257

02 апр 2017, 15:06

Номер из 7 цифр

в форуме Теория вероятностей

sfanter

3

1061

28 июн 2014, 20:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved