Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 16:34 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 13:42
Сообщений: 236
Откуда: Киббуц Кабри
Cпасибо сказано: 226
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно подобрать такие четыре целых числа, чтобы сумма любых трёх из них была степенью двойки с натуральным показателем (пять чисел подобрать нельзя, это совсем нетрудно доказать).
Например, -12, 4, 12 и 16.

Обязательно ли в такой подборке хотя бы одно из чисел будет отрицательным?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 22:11 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10985
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 949
Спасибо получено:
3227 раз в 2819 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если повторы допустимы, то бесконечное число решений. Например
4 4 24 100

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 22:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 23:27
Сообщений: 4870
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 553
Спасибо получено:
346 раз в 287 сообщениях
Очков репутации: 53

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Если повторы допустимы, то бесконечное число решений. Например
4 4 24 100

А 108 - это какая степень двойки?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 22:29 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10985
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 949
Спасибо получено:
3227 раз в 2819 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak, да, Вы правы. Прозевал этот случай. Тогда положительных решений нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 12 авг 2017, 00:45 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 13:42
Сообщений: 236
Откуда: Киббуц Кабри
Cпасибо сказано: 226
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Если повторы допустимы, ...

Ой, вылетело из башки указать, что все числа попарно различны. Хотя, красивая задача получается в обоих случаях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 12 авг 2017, 00:47 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 13:42
Сообщений: 236
Откуда: Киббуц Кабри
Cпасибо сказано: 226
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak писал(а):
А 108 - это какая степень двойки?

С нецелым показателем.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 12 авг 2017, 09:59 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 1012
Cпасибо сказано: 73
Спасибо получено:
393 раз в 310 сообщениях
Очков репутации: 137

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так как решение системы:

[math]a=\frac 1 3 (2^u+2^v+2^w-2\cdot 2^t)[/math]

Остальные аналогично, меняется только [math]-2\cdot[/math]

то хотя бы одно из них будет отрицательным (если все числа разные)

А если допускаются равные, то только [math]v=w=t[/math], но тогда [math]2^u[/math] не делится на 3

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
СообщениеДобавлено: 12 авг 2017, 15:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 16456
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1130
Спасибо получено:
3598 раз в 3325 сообщениях
Очков репутации: 679

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему, если, например, [math]0 \leqslant x_1<x_2<x_3<x_4,[/math] то, согласно условию задачи,

[math]\left\{\!\begin{aligned} & x_4+x_3+x_2=2^d, \\ & x_4+x_3+x_1=2^c, \\ & x_4+x_2+x_1=2^b, \\ & x_3 +x_2+x_1=2^a, \end{aligned}\right.[/math]


причём [math]2^a<2^b<2^c<2^d.[/math] Решая эту систему, получим
[math]3x_1=-2^{d+1}+2^c+2^b+2^a,[/math]

откуда
[math]3x_1 \leqslant -15 \cdot 2^a<0,[/math]

[math]x_1<0[/math]

(здесь мы положили [math]2^b \geqslant 2 \cdot 2^a,~2^c \geqslant 4 \cdot 2^a,~2^d \geqslant 8 \cdot 2^a[/math]).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сумма трёх нечётных чисел

в форуме Теория чисел

Ivan_________0

2

37

18 июл 2018, 15:24

Сумма обратных значений трёх чисел

в форуме Алгебра

Woxa999

11

587

05 дек 2013, 18:06

Найдите наибольшую степень двойки

в форуме Алгебра

valeron1115

6

249

14 май 2018, 14:23

Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна кубу

в форуме Алгебра

johnson

4

267

14 мар 2017, 23:00

Если сумма трёх квадратов...

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

3

125

17 сен 2017, 00:20

Возведение в степень дробных чисел

в форуме Теория чисел

Vedi

4

423

06 мар 2014, 13:22

Сумма первых трёх цифр на 6 больше суммы оставшихся

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

prostonekitos

1

212

22 май 2017, 00:54

Произведение трех чисел

в форуме Теория чисел

oleg_n1

9

733

26 мар 2013, 22:24

Умножение комплексных чисел и возведение в степень

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Gavin

8

350

11 фев 2014, 19:33

Делимость произведения трёх чисел на 7

в форуме Теория чисел

gadenin

9

256

27 ноя 2017, 22:16


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved