Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Разбиение без квадратов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=55370
Страница 1 из 1

Автор:  Xenia1996 [ 03 авг 2017, 16:03 ]
Заголовок сообщения:  Разбиение без квадратов

Требуется разбить множество всех целых чисел от 1 до 2017 на три непустых непересекающихся подмножества таким образом, чтобы какие бы три числа (по одному из каждого подмножества) мы ни выбрали, произведение любых двух чисел из этих трёх, сложенное с третьим, НЕ являлось бы квадратом целого числа.

Эта задача имеет удивительно простое и на мой взгляд удивительно красивое решение.

Автор:  Shadows [ 03 авг 2017, 20:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разбиение без квадратов

Ну, например - в первой группе - только 1890, во второй - только 2012, в третьей - все остальные. Там, по модулям 3, 4 и их прозведение достаточно далеко от следующего квадрата.

Автор:  ivashenko [ 04 авг 2017, 01:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разбиение без квадратов

Наверное можно разбить так, но я не уверен:
1. Квадраты чисел.
2. Числа, имеющие четную сумму степеней факторов, за исключением квадратов.
3. Числа, имеющие нечетную сумму степеней факторов.

Если это вдруг справедливо для [math]\mathbb N<2017[/math], то должно быть и вдруг справедливо для всех [math]\mathbb N[/math].
Если же это просто несправедливо для [math]\mathbb N<2017[/math], то это просто несправедливо и для всех [math]\mathbb N[/math].

Нет, наверное всё-таки не вдруг. Это для попарного произведения без сложения с третьим числом.

Автор:  Xenia1996 [ 04 авг 2017, 17:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разбиение без квадратов

Shadows писал(а):
Ну, например - в первой группе - только 1890, во второй - только 2012, в третьей - все остальные. Там, по модулям 3, 4 и их прозведение достаточно далеко от следующего квадрата.

У Вас красиво, но у меня решение проще и красивее, и для олимпиады годится, потому что на олимпиаде времени мало, а на "их прозведение достаточно далеко от следующего квадрата" времени много убьётся :)

Автор:  Xenia1996 [ 06 авг 2017, 00:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разбиение без квадратов

Ну ладно, публикую моё решение:

В первое подмножество кидаем только число 800, во второе - только число 1800, а в третье - всё, что осталось. Тогда, если складывать с 800, получится число, дающее остаток 2 при делении на 3 (а такое число не может быть квадратом). Если же складывать с 1800, получится число, которое делится на 8, но не делится на 16 (а значит, квадратом быть также не может). Ну и наконец, если складывать с элементом из третьего подмножества, получится число, превышающее квадрат числа 1200, но не дотягивающее до квадрата числа 1201.

Сейчас расскажу рецепт. Вот перед вами задача, в условии которой фигурируют числа от 1 до 2017. Попробуйте заменить 2017 на маленькие числа и увидеть закономерность. Возьмите, скажем, числа от 1 до 24. Видите что-нибудь? Но это ещё цветочки. Вы будете бурно и долго смеяться, когда я вам расскажу, как эта задача вообще родилась на свет

Автор:  Gagarin [ 06 авг 2017, 08:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разбиение без квадратов

Xenia1996 писал(а):
Возьмите, скажем, числа от 1 до 24. Видите что-нибудь?
Ничего не вижу, хоть напряжённо всматриваюсь.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/