Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разбиение без квадратов
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 16:03 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 13:42
Сообщений: 208
Cпасибо сказано: 207
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Требуется разбить множество всех целых чисел от 1 до 2017 на три непустых непересекающихся подмножества таким образом, чтобы какие бы три числа (по одному из каждого подмножества) мы ни выбрали, произведение любых двух чисел из этих трёх, сложенное с третьим, НЕ являлось бы квадратом целого числа.

Эта задача имеет удивительно простое и на мой взгляд удивительно красивое решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разбиение без квадратов
СообщениеДобавлено: 03 авг 2017, 20:11 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 918
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
360 раз в 282 сообщениях
Очков репутации: 130

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, например - в первой группе - только 1890, во второй - только 2012, в третьей - все остальные. Там, по модулям 3, 4 и их прозведение достаточно далеко от следующего квадрата.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Разбиение без квадратов
СообщениеДобавлено: 04 авг 2017, 01:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3194
Cпасибо сказано: 220
Спасибо получено:
199 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наверное можно разбить так, но я не уверен:
1. Квадраты чисел.
2. Числа, имеющие четную сумму степеней факторов, за исключением квадратов.
3. Числа, имеющие нечетную сумму степеней факторов.

Если это вдруг справедливо для [math]\mathbb N<2017[/math], то должно быть и вдруг справедливо для всех [math]\mathbb N[/math].
Если же это просто несправедливо для [math]\mathbb N<2017[/math], то это просто несправедливо и для всех [math]\mathbb N[/math].

Нет, наверное всё-таки не вдруг. Это для попарного произведения без сложения с третьим числом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Разбиение без квадратов
СообщениеДобавлено: 04 авг 2017, 17:12 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 13:42
Сообщений: 208
Cпасибо сказано: 207
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Ну, например - в первой группе - только 1890, во второй - только 2012, в третьей - все остальные. Там, по модулям 3, 4 и их прозведение достаточно далеко от следующего квадрата.

У Вас красиво, но у меня решение проще и красивее, и для олимпиады годится, потому что на олимпиаде времени мало, а на "их прозведение достаточно далеко от следующего квадрата" времени много убьётся :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разбиение без квадратов
СообщениеДобавлено: 06 авг 2017, 00:20 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 13:42
Сообщений: 208
Cпасибо сказано: 207
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну ладно, публикую моё решение:

В первое подмножество кидаем только число 800, во второе - только число 1800, а в третье - всё, что осталось. Тогда, если складывать с 800, получится число, дающее остаток 2 при делении на 3 (а такое число не может быть квадратом). Если же складывать с 1800, получится число, которое делится на 8, но не делится на 16 (а значит, квадратом быть также не может). Ну и наконец, если складывать с элементом из третьего подмножества, получится число, превышающее квадрат числа 1200, но не дотягивающее до квадрата числа 1201.

Сейчас расскажу рецепт. Вот перед вами задача, в условии которой фигурируют числа от 1 до 2017. Попробуйте заменить 2017 на маленькие числа и увидеть закономерность. Возьмите, скажем, числа от 1 до 24. Видите что-нибудь? Но это ещё цветочки. Вы будете бурно и долго смеяться, когда я вам расскажу, как эта задача вообще родилась на свет

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разбиение без квадратов
СообщениеДобавлено: 06 авг 2017, 08:26 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
21 сен 2013, 00:46
Сообщений: 452
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
105 раз в 84 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xenia1996 писал(а):
Возьмите, скажем, числа от 1 до 24. Видите что-нибудь?
Ничего не вижу, хоть напряжённо всматриваюсь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Метод наименьших квадратов; почему именно квадратов?

в форуме Численные методы

tushkan

17

828

04 апр 2015, 16:19

Разбиение множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Vlad001

1

446

21 авг 2012, 20:15

Разбиение на слагаемые

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

boroda33

2

111

12 июл 2017, 17:00

Разбиение числа

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Stasya7

0

170

05 мар 2015, 22:51

Разбиение множества на классы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

delisalce

4

1127

11 дек 2013, 20:16

Разбиение на группы и подгруппы

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

eugrita

8

402

09 сен 2014, 10:02

Эквивалентности на U и разбиение U на классы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

culka

1

172

11 дек 2014, 22:14

Разбиение отрезка на части

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

rus21d

4

288

30 дек 2015, 19:29

Задача про разбиение шахматной доски mXm

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Nikolay Moskvitin

1

189

23 янв 2015, 11:04

Разбиение интеграла от рациональной дроби

в форуме Интегральное исчисление

mushka

2

324

23 окт 2011, 18:59


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved