Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Число, кратное 7, как ни переставляй
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 17:14 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 13:42
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 207
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чему равно наименьшее натуральное число, без нулей и семёрок в десятичной записи, которое имеет такое свойство – как цифры этого числа ни переставлять, получится число, делящееся нацело на 7?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число, кратное 7, как ни переставляй
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 18:36 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 774
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
115 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну это число явно не больше [math]111111.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали:
Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Число, кратное 7, как ни переставляй
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 20:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9987
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3067 раз в 2670 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich, а как доказать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число, кратное 7, как ни переставляй
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 20:51 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 774
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
115 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Это очень интересный вопрос)).
Среди 6-ти значных [math]111111[/math] явно наименьшее число, удовлетворяющее необходимым условиям.
Осталось показать, что среди 2-x,3-x,4-x и 5-ти значных таких нет.

Для двухзначных можно проверить простым перебором (от [math]14[/math] до [math]98[/math]).
Для трехзначных:
Пусть [math]\overline{a_2a_1a_0}[/math] нужное число. Тогда используя признак делимости на [math]7[/math]
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7)

имеем

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& -2 a_0+10 a_1+100 a_2=d_1, \\
& -2 a_2+10 a_0+100 a_1=d_2 \\
& -2 a_1+10 a_0+100 a_2=d_3
\end{aligned}\right.[/math]


где [math]d_j[/math] числа кратные семи.
Отсюда [math]a_2=\frac{85 d_1-8 d_2+25 d_3}{11016},\,a_1=\frac{85 d_1+100 d_2-83 d_3}{11016},\,a_0=\frac{-833 d_1+100 d_2+835 d_3}{11016}[/math]
Так как, [math]11016[/math] не кратно семи имеем, то [math]a_j[/math] все должны быть кратны 7, т.е. [math]a_j=7[/math], что не подходит по условию.
Извиняюсь, отвлекусь, продолжение следует...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали:
Analitik, Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Число, кратное 7, как ни переставляй
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 01:33 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 710
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
115 раз в 108 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно доказать, что это число не может содержать разные цифры.
В самом деле, пусть оно содержит хотя бы 2 разные цифры и делится на 7, "как ни переставляй". Зафиксируем все, кроме последних 2-х. Рассмотрим два числа с переставленными двумя последними разными цифрами. Очевидно, это 2 цифры могут быть только (9, 2) или (8, 1). Чтобы это показать, нужно просто рассмотреть разность этих 2-х чисел, она тоже должна делиться на 7.
Но если в числе есть ещё какие-то цифры, допустим, 6, то должны делиться на 7 и числа, заканчивающиеся на 69 и 96. А значит, и их разность - но она равна 27 и на 7 не делится.
ЧТД.

Пример: 392 и 329 делятся на 7. Но уже 239 на 7 не делится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число, кратное 7, как ни переставляй
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 02:34 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 710
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
115 раз в 108 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Упс.
На самом деле доказано, что искомое число может состоять либо только из 1 и 8, либо из 2 и 9 (при условии, что цифры в числе не все одинаковы).
Как пример: 188888, 299999. Кажется, это минимальные из возможных чисел такого рода, рекорд Student Studentovich'а всё равно непревзойдён.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число, кратное 7, как ни переставляй
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 04:49 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 710
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
115 раз в 108 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Упс, упс...
Конечно, не минимальные. Минимальные - [math]111118[/math] и [math]222229[/math]. Понятно, как они получаются из [math]111111[/math]. Прибавлением к нему числа, составленного из семёрок и нулей. )))
То бишь все числа, обладающие свойством сабжа:
[math]a_0=111111[/math];
[math]a_1=111111111111[/math];
[math]a_2=111111111111111111[/math];
...
Остальные получаются или умножением [math]a_i[/math] на [math](2, 3, 4, 5, 6, 8, 9)[/math], или прибавлением к [math]a_i[/math] любого числа, составленного из [math]7[/math] и [math]0[/math], но меньшего, чем [math]a_i[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число, кратное 7, как ни переставляй
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 13:48 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 774
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
115 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для 4-х значных используем еще один признак делимости на [math]7.[/math]
Число делится на 7, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 7. Пример.23013. Разбиваем число на трёхзначные грани: 23|013. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа есть 23 − 13 = 10. Число 10 на 7 не делится, поэтому число 23013 не делится на 7. Ответ: не делится.

Пусть [math]\overline{a_3a_2a_1a_0}[/math] нужное число.
Тогда комбинируя оба признака делимости имеем

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \overline{a_3a_2a_1}-2a_0=d_1, \\
& \overline{a_3a_2a_1}-a_0=d_2,
\end{aligned}\right.[/math]


где [math]d_j[/math] числа кратные семи.
отсюда [math]\overline{a_3a_2a_1}=2d_2-d_1,\,a_0=d_2-d_1[/math]. Т.е. [math]a_0=7[/math] или [math]a_0=0[/math], что не удовлетворяет условию.
Аналогичным способом можно составить систему уравнений, с тремя неизвестными для 5-ти значных чисел. И получить аналогичный результат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число, кратное 7, как ни переставляй
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 22:31 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 710
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
115 раз в 108 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich
Кажется, эти доказательства излишни. Достаточно проверить, что 11, 111, 1111 и 11111 не делятся на 7. Все возможные остальные 2-х, 3-х, 4-х и 5-изначные числа могут удовлетворять условию сабжа только если делятся на 7 именно эти 4 числа. И получаются из них по вышеописанным правилам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти вероятность того. что выпадет одно число кратное 3?

в форуме Теория вероятностей

anyboose

1

460

05 июн 2013, 09:27

кратное интегрирование

в форуме Интегральное исчисление

Kaprizylya

2

174

11 дек 2011, 16:47

Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

в форуме Алгебра

afraumar

19

2385

12 авг 2013, 19:24

Почему умножение на дробное число уменьшает число?

в форуме Алгебра

IgorSv

11

530

09 ноя 2015, 15:57

Целое число + его квадрат = четное число. Почему ?

в форуме Алгебра

MaximZag95

2

373

11 апр 2015, 21:46

Число е

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MarkD

4

234

02 июн 2015, 07:26

Число 11...11

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

migirimigi

2

433

27 авг 2012, 22:06

Число e

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

RikkiTan1

5

211

04 фев 2014, 17:55

ОТО и число Пи

в форуме Палата №6

O Micron

29

585

27 окт 2016, 20:19

Необычное число

в форуме Дискуссионные математические проблемы

S_T_D

1

439

10 май 2015, 22:24


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved