Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти все значения параметра a
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=54759
Страница 1 из 1

Автор:  sony111 [ 30 май 2017, 22:39 ]
Заголовок сообщения:  Найти все значения параметра a

Помогите пожалуйста решить!может кто-то знает :wink:
Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x^2 + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня.
должно решаться по теореме виета

Автор:  Ellipsoid [ 30 май 2017, 23:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения параметра a

Примените эту теорему. :)

Автор:  Student Studentovich [ 31 май 2017, 05:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения параметра a

sony111
У меня свелось к
При каких целых [math]k[/math]
[math]x^2-(3k+1)x-(4+11k)=0[/math] имеет два целых корня.
При этом [math]a[/math] можно восстановить как [math]a=-\frac{3k+1}{2k+1}[/math].
Можно пару штук угадать [math]k=4,\,a=-\frac{13}{9};\,\,\,k=-16,\,a=-\frac{47}{31}[/math], но в общем случае она еще не отдалась мне.

Автор:  dr Watson [ 31 май 2017, 07:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения параметра a

Подтверждаю, Продолжим однако. Дискриминант должен быть квадратом. Если [math]k>0,[/math] то
[math](3k+1)^2<D=9k^2+50k+17<(3k+9)^2[/math]. Отсюда варианты [math]9k^2+50k+17=(3k+s)^2, s=2,3,4,5,6,7,8.[/math] Чётные [math]s[/math] отпадают сразу, а из трёх нечётных годится лишь [math]s=7[/math], что приводит к [math]k=4[/math].
Если [math]k<-16,[/math] то [math](3k+9)^2<D<(3k+1)^2[/math] и разбирается аналогично - отпадают все случаи. Остаются случаи [math]k\in [-16,-1][/math], которые не вижу иного способа как перебирать по одному.

Автор:  Student Studentovich [ 31 май 2017, 11:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения параметра a

доброго утра Всем!
[math]17+50k+9k^2=A^2[/math]. Вычислив дискриминант этого уравнения [math]472 + 9 A^2[/math] приравниваем его
[math]472 + 9 A^2=R^2[/math]. Далее [math](R + 3 A) (R - 3 A)=472[/math]. Делители [math]472[/math] это множество [math]\left\{ 1, 2, 4, 8, 59, 118, 236, 472\right\}[/math]. Легко также убедиться, что нет необходимости разбирать "случаи с минусами" перед делителями. Перебирая пары [math](1,236),\,(2,236),\,(4,118),\,(8,59)[/math] убеждаемся, что система
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& R - 3 A=p_1, \\
& R + 3 A=p_2,
\end{aligned}\right.[/math]

дает целые решения только при [math](2,236),\,(4,118).[/math] При этом
[math]A=\pm39,\,A=\pm19.[/math]
Далее
[math]k[/math] из [math]17+50k+9k^2=19^2 \Rightarrow k=4[/math] и
[math]k[/math] из [math]17+50k+9k^2=39^2 \Rightarrow k=-16[/math].

Автор:  dr Watson [ 31 май 2017, 11:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения параметра a

Клёво, вот и отдалась :)

Автор:  Student Studentovich [ 31 май 2017, 11:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения параметра a

dr Watson
:beer:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/