Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Олимпиада
СообщениеДобавлено: 15 апр 2017, 11:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 апр 2017, 12:01
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для каждого натурального числа n обозначим через S(n) сумму остатков при делении на все числа, меньшие n. Докажите, что существует бесконечно много таких n, что S(n)=S(n+1)
Помогите с решением

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада
СообщениеДобавлено: 16 апр 2017, 09:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Например, [math]n=2^k-1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада
СообщениеДобавлено: 16 апр 2017, 10:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 апр 2017, 12:01
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
если подставить числа, то получится например n=2[math]^{3}[/math] -1, из этого следует что n=7, S(n)=15, n+1=8, S(n+1)=8. Соответсвенно S(n) [math]\ne[/math] S(n+1)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада
СообщениеДобавлено: 16 апр 2017, 10:50 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
domin1242, [math]S(7)=S(8)=8[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада
СообщениеДобавлено: 16 апр 2017, 11:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
эквивалентная формулировка - доказать, что существуют бесконечно много натуральных чисел, на единицу больше суммы своих собственных делителей. Легко доказать, что степени двойки удовлетворяют условию. И не только они, конечно, но других искать сложнее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада
СообщениеДобавлено: 16 апр 2017, 11:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 апр 2017, 12:01
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D
Действительно, я не правильно посчитал

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада
СообщениеДобавлено: 16 апр 2017, 11:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 апр 2017, 09:34
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadow писал(а):
Легко доказать, что степени двойки удовлетворяют условию.

если не составит труда, можете расписать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада
СообщениеДобавлено: 16 апр 2017, 12:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pro100Dex писал(а):
если не составит труда, можете расписать?

Не составит, но давайте лучше вы.
1. Напишите все собственные делители числа [math]2^k[/math].
2. Сложите их.
Если в сумме получится [math]2^k-1[/math] значит все ОК

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада
СообщениеДобавлено: 16 апр 2017, 12:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 апр 2017, 09:34
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
1. Напишите все собственные делители числа [math]2^k[/math].
2. Сложите их.
Если в сумме получится [math]2^k-1[/math] значит все ОК

Действительно получается
2^3=16
делители 16: 1;2;4;8 в сумме дают 15
значит S(16)=S(15)?
И почему это происходит?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада
СообщениеДобавлено: 16 апр 2017, 12:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не знаю что вас больше удивляет - эквивалентность двух формулировок, или формулу для суммы геометрической прогрессии?
Цитата:
Легко доказать, что степени двойки удовлетворяют условию. И не только они, конечно, но других искать сложнее.
Начинаю сомневатся, что другие есть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Олимпиада

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

KeyDol

18

975

06 ноя 2015, 16:42

Олимпиада

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

KeyDol

7

623

06 ноя 2015, 16:47

Олимпиада

в форуме Размышления по поводу и без

Start

3

258

09 мар 2016, 20:24

Олимпиада

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

dolmatofff

11

1466

26 мар 2015, 22:08

Олимпиада

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Pro100Dex

8

460

16 апр 2017, 09:38

Грядущая Мат олимпиада

в форуме Размышления по поводу и без

artemas_01

49

1777

23 июл 2015, 20:02

Задача олимпиада

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Germanhart

1

370

22 дек 2014, 23:37

Стереометрия. Олимпиада.

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Zhenya Antonow

1

555

07 дек 2014, 16:37

Олимпиада 5 класс

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

mega-ga

21

3038

02 дек 2015, 15:57

Школьная олимпиада

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

swagg

2

544

19 сен 2014, 14:42


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved