Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
anpe0681 |
|
|
Пусть f(x) дважды дифференцируема на всей оси и ограничена. Доказать, что существует такое [math]x_{0}[/math], что [math]f''(x_{0})=0[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
_Sasha_ |
|
|
Точно доказать не могу. Но у меня идея следующая. Вторая производная функции равна нулю - в точках перегиба функции. Я не могу представить непрерывную (т.к. у функции есть вторая производная) и ограниченную функцию на всей оси, чтобы она была либо выпуклой, либо вогнутой (либо выпуклой вверх, либо выпуклой вниз) на всей оси. Поэтому на оси функция меняет свою выпуклость. Точка в которой функция меняет свою выпуклость является точкой перегиба функции, в ней вторая производная равна нулю (если существует).
Гипотеза. При этих условиях задачи надо доказать, что функция обладает точкой перегиба. |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
И в самом деле лёгкая, если знать теорему Дарбу (аналог теоремы Б-К): производная принимает все промежуточные значения. Поэтому, если вторая производная нигде не ноль, то она либо везде положительна либо везде отрицательна.
Пусть вторая производная всюду положительна, Тогда функция выпукла вниз, следовательно её график лежит выше касательной, проведённой в любой точке. Берём произвольную точку, если наклон касательной в ней положителен, то функции неограничена справа от точки, если отрицателен - неограничена слева. Остаётся производная в любой точке 0, а тогда и вторая в любой точке ноль. Случай, когда вторая производная всюду отрицательна аналогичен или сводится к рассмотренному умножением функции на [math]-1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: anpe0681, venjar |
||
anpe0681 |
|
|
Всё понял, спасибо. Замечу, что верность утверждения
dr Watson писал(а): Берём произвольную точку, если наклон касательной в ней положителен, то функции неограничена справа от точки, если отрицателен - неограничена слева. хорошо видна из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для нашей функции [math]f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(c)}{ 2 } (x-x_{0})^2, c\in(x_{0},x)[/math], поскольку для всех c [math]f''(c)>0[/math], если [math]f'(x_{0})>0[/math], то при достаточно больших x f(x) станет больше любого наперёд заданного числа, а если [math]f'(x_{0})<0[/math], то при достаточно малых (близких к [math]-\infty[/math]) x f(x) также станет больше любого наперёд заданного числа. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |