Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Равенство нулю второй производной ограниченной функции
СообщениеДобавлено: 26 янв 2017, 01:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 01:04
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача номер 130 из книги «Задачи студенческих олимпиад по математике» В.А.Садовничего и А.С.Подколзина, 1978, ответа нету, видимо, потому, что лёгкая.
Пусть f(x) дважды дифференцируема на всей оси и ограничена. Доказать, что существует такое [math]x_{0}[/math], что [math]f''(x_{0})=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равенство нулю второй производной ограниченной функции
СообщениеДобавлено: 26 янв 2017, 02:17 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Точно доказать не могу. Но у меня идея следующая. Вторая производная функции равна нулю - в точках перегиба функции. Я не могу представить непрерывную (т.к. у функции есть вторая производная) и ограниченную функцию на всей оси, чтобы она была либо выпуклой, либо вогнутой (либо выпуклой вверх, либо выпуклой вниз) на всей оси. Поэтому на оси функция меняет свою выпуклость. Точка в которой функция меняет свою выпуклость является точкой перегиба функции, в ней вторая производная равна нулю (если существует).

Гипотеза. При этих условиях задачи надо доказать, что функция обладает точкой перегиба.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равенство нулю второй производной ограниченной функции
СообщениеДобавлено: 26 янв 2017, 07:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И в самом деле лёгкая, если знать теорему Дарбу (аналог теоремы Б-К): производная принимает все промежуточные значения. Поэтому, если вторая производная нигде не ноль, то она либо везде положительна либо везде отрицательна.
Пусть вторая производная всюду положительна, Тогда функция выпукла вниз, следовательно её график лежит выше касательной, проведённой в любой точке. Берём произвольную точку, если наклон касательной в ней положителен, то функции неограничена справа от точки, если отрицателен - неограничена слева. Остаётся производная в любой точке 0, а тогда и вторая в любой точке ноль.
Случай, когда вторая производная всюду отрицательна аналогичен или сводится к рассмотренному умножением функции на [math]-1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
anpe0681, venjar
 Заголовок сообщения: Re: Равенство нулю второй производной ограниченной функции
СообщениеДобавлено: 26 янв 2017, 11:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 ноя 2016, 01:04
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё понял, спасибо. Замечу, что верность утверждения
dr Watson писал(а):
Берём произвольную точку, если наклон касательной в ней положителен, то функции неограничена справа от точки, если отрицателен - неограничена слева.

хорошо видна из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для нашей функции
[math]f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(c)}{ 2 } (x-x_{0})^2, c\in(x_{0},x)[/math], поскольку для всех c [math]f''(c)>0[/math], если [math]f'(x_{0})>0[/math], то при достаточно больших x f(x) станет больше любого наперёд заданного числа, а если [math]f'(x_{0})<0[/math], то при достаточно малых (близких к [math]-\infty[/math]) x f(x) также станет больше любого наперёд заданного числа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследование функции с помощью первой и второй производной

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

marinyshka

5

516

24 окт 2015, 12:39

Почему при производной приращение аргумента стремится к нулю

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

skipp73

7

222

19 май 2023, 22:17

Шаблон для второй обыкновенной производной

в форуме Численные методы

HJey

0

246

11 июн 2018, 11:18

Найти значение второй производной в точке

в форуме Дифференциальное исчисление

RETU

17

707

08 июл 2018, 00:06

Геометрический смысл второй частной производной

в форуме Дифференциальное исчисление

HitGirl

6

347

10 мар 2020, 11:22

Дисктертное синус-преобразование Фурье от второй производной

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

SergeiS

1

439

02 май 2017, 14:44

Простое выражение для второй производной по индексу Бесселя

в форуме Дифференциальное исчисление

lan1967

0

204

11 апр 2015, 13:03

Правая разностная схема с использованием второй производной

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

stut

3

511

05 сен 2014, 08:50

Скорость роста функции стремится к нулю

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vinnik

8

764

07 янв 2015, 15:36

Второй дифференциал вектор-функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Kotyara

0

162

15 июн 2021, 18:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved