Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 17 янв 2017, 07:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 янв 2017, 14:21
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если a>0 доказать, что [math]a^{40}+1 \slash a^{16} +2 \slash a^{4} +4 \slash a^{2} +8 \slash a \geqslant 16[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 17 янв 2017, 10:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a^{56}-16a^{16}+8a^{15}+4a^{14}+2a^{12}+1 = (a-1)^2\times[/math]
[math]\times(a^{54}+ 2 a^{53}+ 3 a^{52}+ 4 a^{51}+ 5 a^{50}+ 6 a^{49}+ 7 a^{48}+ 8 a^{47}+ 9 a^{46}+ 10 a^{45}+ 11 a^{44}+[/math]
[math]+ 12 a^{43}+ 13 a^{42}+ 14 a^{41}+ 15 a^{40}+ 16 a^{39}+ 17 a^{38}+ 18 a^{37}+ 19 a^{36}+ 20 a^{35}+ 21 a^{34}+ 22 a^{33}+[/math]
[math]+ 23 a^{32}+ 24 a^{31}+ 25 a^{30}+ 26 a^{29}+ 27 a^{28}+ 28 a^{27}+ 29 a^{26}+ 30 a^{25}+ 31 a^{24}+ 32 a^{23}+ 33 a^{22}+[/math]
[math]+ 34 a^{21}+ 35 a^{20}+ 36 a^{19}+ 37 a^{18}+ 38 a^{17}+ 39 a^{16}+ 40 a^{15}+ 25 a^{14}+ 18 a^{13}+ 15 a^{12}+ 12 a^{11}+[/math]
[math]+ 11 a^{10}+ 10 a^9 + 9 a^8 + 8 a^7 + 7 a^6 + 6 a^5 + 5 a^4 + 4 a^3 + 3 a^2 + 2 a + 1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Booker48, freedurex
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 17 янв 2017, 12:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 янв 2017, 14:21
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, а как вы поняли что выражение слева от равенства делиться на (a-1)^2 ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 17 янв 2017, 12:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Корень многочлена в единице очевиден. А поскольку в ее окрестности многочлен должен быть неотрицательным, то производная в единице тоже должна равняться нулю. Непосредственной проверкой в этом убеждаемся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
freedurex
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 17 янв 2017, 14:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 янв 2017, 14:21
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a^{n} + 1 \slash a^{n} \geqslant 2[/math]
[math]a^{2x} - a^{2x} +1 \geqslant 0[/math], отсюда [math]a^{2x} - 2a^{x} \geqslant -1[/math], [math]a^{2x} \geqslant 2a^{x} -1[/math]
[math]a^{32} \geqslant 2a^{16} -1 = a^{16} + a^{16} -1[/math],
[math]a^{16} + 1 \slash a^{16} \geqslant 2[/math],
[math]a^{16} \geqslant + 2a^{8} - 1 > 4a^{4} - 2 -1 = 2a^{4} + 2a^{4} -3[/math]
[math]2a^{4} + 2 \slash a^{4} \geqslant 2*2=4[/math]
[math]2a^{4} \geqslant 4a^{2} - 1[/math]
[math]4a^{2} + 4 \slash a^{2} \geqslant 2*4 =8[/math],

Общая сумма не меньше 2+4+8 – 1-3-1 =14-5=9
[math]a^{40} -a^{32} * (a^{8}-1) > 1[/math] при условии , что a>1
Тогда 1+9=10 (не меньше 10)
Так как мы предположили a<1,25 то 8/а > 6
Итого 10+6=16.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 17 янв 2017, 14:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
freedurex, если в неравенстве заменить [math]a^{40}[/math] на [math]a^{42}[/math] или на [math]a^{38}[/math] то оно перестанет быть верным. Я не вижу, где в вашем решении отображен этот факт.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 17 янв 2017, 16:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
freedurex писал(а):
Если a>0 доказать, что [math]a^{40}+1 \slash a^{16} +2 \slash a^{4} +4 \slash a^{2} +8 \slash a \geqslant 16[/math]

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Только нужно сначала слагаемые с коэффициентами 2 и выше "раздробить" в сумму слагаемых с коэффициентом 1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
freedurex, neurocore
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать неравенство

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

alesger

1

296

15 май 2016, 06:40

Доказать неравенство

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Boris Skovoroda

3

609

08 янв 2017, 11:50

Как доказать неравенство

в форуме Алгебра

Kosta

1

290

28 окт 2015, 19:53

Доказать неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

pavel19385638

1

376

14 окт 2015, 23:45

Доказать неравенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Jugalator

3

334

26 сен 2017, 17:48

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

chelovek466664

9

422

27 дек 2020, 17:34

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Zero

5

354

18 июн 2018, 17:20

Доказать неравенство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

lvbealr

8

272

30 дек 2022, 15:18

Доказать неравенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Elbek

4

380

19 июл 2017, 10:38

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Amorah

3

465

10 июн 2017, 16:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved