Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 32 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Solopa |
|
|
[math]3\sqrt[3]{abc}+|a-b|+|b-c|+|c-a| \geqslant a + b + c[/math]. Есть идеи, как такое делать? (Пробовал через сведение к неравенству о среднем ар. и геом., Коши-Буняковского - не помогло) |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Каким условиям удовлетворяют числа [math]a,~b,~c[/math]?
|
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Замените ср.геометрическое на минимум.
|
||
Вернуться к началу | ||
Solopa |
|
|
Andy писал(а): Каким условиям удовлетворяют числа [math]a,~b,~c[/math]? Никаких |
||
Вернуться к началу | ||
Solopa |
|
|
swan писал(а): Замените ср.геометрическое на минимум. А можно поподробнее? |
||
Вернуться к началу | ||
Boris Skovoroda |
|
|
Достаточно доказать для случая, когда, например, выполняется неравенство: [math]a \leqslant b \leqslant c.[/math] А это уже сделать легко. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Я понимаю, что для многих участников форума задача является элементарной. Но не для неискушённых участников вроде меня. Поэтому пытаюсь продвинуться вперёд в решении задачи, хотя она имеет "олимпиадный" уровень.
Равенство достигается при [math]a=b=c.[/math] Пусть, например, [math]a \le b \le c.[/math] Тогда [math]\left| a-b \right|+\left| b-c \right|+\left| c-a \right|=b-a+c-b+c-a=2c-2a,[/math] [math]3\sqrt[3]{abc}+2c-2a \ge a+b+c,[/math] [math]3\sqrt[3]{abc} \ge 3a+b-c,[/math] [math]...[/math] Что делать дальше, пока непонятно. Неужели придётся что-то возводить в третью степень? |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
Solopa писал(а): Andy писал(а): Каким условиям удовлетворяют числа [math]a,~b,~c[/math]? Никаких А вот для неотрицательных значениях аргументов - верно. Andy писал(а): Что делать дальше, пока непонятно Заметить, что при [math]0\le a\le b\le c,\quad \sqrt[3]{abc}\ge a[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: Andy, Boris Skovoroda, Solopa, swan |
||
swan |
|
|
Andy писал(а): Я понимаю, что для многих участников форума задача является элементарной. Но не для неискушённых участников вроде меня. Поэтому пытаюсь продвинуться вперёд в решении задачи, хотя она имеет "олимпиадный" уровень. Равенство достигается при [math]a=b=c.[/math] Пусть, например, [math]a \le b \le c.[/math] Тогда [math]\left| a-b \right|+\left| b-c \right|+\left| c-a \right|=b-a+c-b+c-a=2c-2a,[/math] [math]3\sqrt[3]{abc}+2c-2a \ge a+b+c,[/math] [math]3\sqrt[3]{abc} \ge 3a+b-c,[/math] [math]...[/math] Что делать дальше, пока непонятно. Неужели придётся что-то возводить в третью степень? А тут просто, если воспользоваться моей подсказкой для [math]0\le a\le b \le c[/math] [math]3\sqrt[3]{abc}\ge 3a \ge 3a+b-c[/math] Отмечу, что [math]\sqrt[3]{abc}\ge \min(a,b,c)[/math] не выполняется в случае, если [math]a,b,c[/math] разных знаков. Но в этом случае и само неравенство неверно. Например, при [math](4,2,-1)[/math] Ну вот и Shadows меня опередил |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Andy, Solopa |
||
Andy |
|
|
swan, конечно, для неотрицательных значений букв всё понятно, а вот если знаки разные. Поверил я автору вопроса, что никаких ограничений на значения букв нет. А зря.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 32 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Олимпиада 5 класс | 21 |
3038 |
02 дек 2015, 15:57 |
|
Олимпиада 6 класс (площади) | 5 |
734 |
18 ноя 2016, 12:23 |
|
Олимпиада школьников 9 класс | 2 |
294 |
20 ноя 2022, 22:32 |
|
Олимпиада по математике 3 класс | 32 |
2812 |
27 янв 2015, 22:40 |
|
Олимпиада 8 класс (графы) | 9 |
1116 |
16 дек 2016, 11:53 |
|
Олимпиада 6 класс (делимость) | 3 |
569 |
16 дек 2016, 10:49 |
|
Олимпиада 3й класс, очень сложно | 8 |
627 |
19 апр 2017, 19:01 |
|
Задачка (олимпиада по математике 9 класс) | 2 |
310 |
14 май 2020, 23:32 |
|
Задачка (олимпиада по математике 9 класс) | 3 |
330 |
14 май 2020, 23:29 |
|
Олимпиада школьников по математике 10 класс | 4 |
430 |
23 фев 2023, 19:44 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |