Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Докажите неравенство (11 класс, олимпиада)
СообщениеДобавлено: 19 сен 2016, 15:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2015, 22:26
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказать неравенство:
[math]3\sqrt[3]{abc}+|a-b|+|b-c|+|c-a| \geqslant a + b + c[/math].

Есть идеи, как такое делать? (Пробовал через сведение к неравенству о среднем ар. и геом., Коши-Буняковского - не помогло)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите неравенство (11 класс, олимпиада)
СообщениеДобавлено: 19 сен 2016, 17:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15051
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 940
Спасибо получено:
3314 раз в 3062 сообщениях
Очков репутации: 641

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Каким условиям удовлетворяют числа [math]a,~b,~c[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите неравенство (11 класс, олимпиада)
СообщениеДобавлено: 19 сен 2016, 18:55 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3130
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
686 раз в 619 сообщениях
Очков репутации: 199

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Замените ср.геометрическое на минимум.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите неравенство (11 класс, олимпиада)
СообщениеДобавлено: 19 сен 2016, 19:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2015, 22:26
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Каким условиям удовлетворяют числа [math]a,~b,~c[/math]?

Никаких

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите неравенство (11 класс, олимпиада)
СообщениеДобавлено: 19 сен 2016, 19:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2015, 22:26
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Замените ср.геометрическое на минимум.

А можно поподробнее?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите неравенство (11 класс, олимпиада)
СообщениеДобавлено: 19 сен 2016, 19:23 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 22:56
Сообщений: 276
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
69 раз в 64 сообщениях
Очков репутации: 13

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Достаточно доказать для случая, когда, например, выполняется неравенство: [math]a \leqslant b \leqslant c.[/math] А это уже сделать легко.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите неравенство (11 класс, олимпиада)
СообщениеДобавлено: 20 сен 2016, 10:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15051
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 940
Спасибо получено:
3314 раз в 3062 сообщениях
Очков репутации: 641

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я понимаю, что для многих участников форума задача является элементарной. Но не для неискушённых участников вроде меня. Поэтому пытаюсь продвинуться вперёд в решении задачи, хотя она имеет "олимпиадный" уровень.

Равенство достигается при [math]a=b=c.[/math]

Пусть, например, [math]a \le b \le c.[/math] Тогда
[math]\left| a-b \right|+\left| b-c \right|+\left| c-a \right|=b-a+c-b+c-a=2c-2a,[/math]

[math]3\sqrt[3]{abc}+2c-2a \ge a+b+c,[/math]

[math]3\sqrt[3]{abc} \ge 3a+b-c,[/math]

[math]...[/math]

Что делать дальше, пока непонятно. Неужели придётся что-то возводить в третью степень?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите неравенство (11 класс, олимпиада)
СообщениеДобавлено: 20 сен 2016, 11:24 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 928
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
364 раз в 286 сообщениях
Очков репутации: 132

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Solopa писал(а):
Andy писал(а):
Каким условиям удовлетворяют числа [math]a,~b,~c[/math]?

Никаких
А если "никаких" то неравенство неверно, напр. при [math]a=-1,b=8,c=8[/math]
А вот для неотрицательных значениях аргументов - верно.
Andy писал(а):
Что делать дальше, пока непонятно
Заметить, что при [math]0\le a\le b\le c,\quad \sqrt[3]{abc}\ge a[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Andy, Boris Skovoroda, Solopa, swan
 Заголовок сообщения: Re: Докажите неравенство (11 класс, олимпиада)
СообщениеДобавлено: 20 сен 2016, 11:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3130
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
686 раз в 619 сообщениях
Очков репутации: 199

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Я понимаю, что для многих участников форума задача является элементарной. Но не для неискушённых участников вроде меня. Поэтому пытаюсь продвинуться вперёд в решении задачи, хотя она имеет "олимпиадный" уровень.

Равенство достигается при [math]a=b=c.[/math]

Пусть, например, [math]a \le b \le c.[/math] Тогда
[math]\left| a-b \right|+\left| b-c \right|+\left| c-a \right|=b-a+c-b+c-a=2c-2a,[/math]

[math]3\sqrt[3]{abc}+2c-2a \ge a+b+c,[/math]

[math]3\sqrt[3]{abc} \ge 3a+b-c,[/math]

[math]...[/math]

Что делать дальше, пока непонятно. Неужели придётся что-то возводить в третью степень?

А тут просто, если воспользоваться моей подсказкой
для [math]0\le a\le b \le c[/math]

[math]3\sqrt[3]{abc}\ge 3a \ge 3a+b-c[/math]

Отмечу, что [math]\sqrt[3]{abc}\ge \min(a,b,c)[/math] не выполняется в случае, если [math]a,b,c[/math] разных знаков. Но в этом случае и само неравенство неверно. Например, при [math](4,2,-1)[/math]

Ну вот и Shadows меня опередил

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Andy, Solopa
 Заголовок сообщения: Re: Докажите неравенство (11 класс, олимпиада)
СообщениеДобавлено: 20 сен 2016, 11:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15051
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 940
Спасибо получено:
3314 раз в 3062 сообщениях
Очков репутации: 641

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, конечно, для неотрицательных значений букв всё понятно, а вот если знаки разные. Поверил я автору вопроса, что никаких ограничений на значения букв нет. А зря. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Олимпиада 5 класс

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

mega-ga

21

1726

02 дек 2015, 16:57

Олимпиада 6 класс (площади)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Solopa

5

218

18 ноя 2016, 13:23

Олимпиада 8 класс (графы)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Solopa

9

236

16 дек 2016, 12:53

Олимпиада 6 класс (делимость)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Solopa

2

123

16 дек 2016, 11:49

Олимпиада по математике 3 класс

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

ivan1212

32

1591

27 янв 2015, 23:40

Олимпиада 3й класс, очень сложно

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

scoobydog1

8

212

19 апр 2017, 20:01

На Марсе 2000 стран (Городская Олимпиада, 8 класс, 1997 год)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

3

107

11 сен 2017, 15:58

Докажите неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

katya_mathematics

9

164

28 ноя 2016, 05:50

Докажите неравенство

в форуме Алгебра

ITwearsmeout

5

56

26 янв 2017, 15:47

Докажите неравенство с помощью производной

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

masha86

2

288

17 окт 2013, 18:30


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved