Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Операция с числом
СообщениеДобавлено: 23 фев 2016, 17:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 июн 2015, 13:20
Сообщений: 32
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным чис-
лом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру
и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С
полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократно-
го применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она
остановилась.
а) Какое число оказалось у Маши в конце?
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние
цифры)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Операция с числом
СообщениеДобавлено: 24 фев 2016, 21:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]a[/math] - последняя цифра [math]N[/math], то

[math]N \rightarrow 3\frac{N-a}{10}+2a=\frac{3N+17a}{10}[/math]

[math]N=\frac{3N+17a}{10}\Rightarrow 7N=17a \Rightarrow N=17[/math]

Если записанное число не делится на [math]17[/math], то в результате операции и не будет делиться на [math]17[/math], а значит исходное число делилось на [math]17[/math].
Если же число делится на 17, то и после проделанной операции также будет делиться на [math]17[/math].
Поскольку при [math]N>21[/math]
[math]\frac{3N+17\cdot 9}{10}<N[/math],
то делимости на [math]17[/math] достаточно, чтобы действо закончилось: будем каждый раз получать меньшее число, пока не достигнем [math]17[/math].
Значит надо найти наименьшее 2015-значное число, делящееся на [math]17[/math].
Найдем остаток от деления [math]10^{2014}[/math] на [math]17[/math]. (без теорем Ферма-Эйлера)

[math]10^{2014}\equiv 100^{1007}\equiv 15^{1007}\equiv (-2)^{1007}\equiv (-2)^3 \cdot (-2)^{251 \cdot 4}\equiv (-8)\cdot 16^{251}\equiv (-8) \cdot(-1)^{251} \equiv 8 \pmod {17}[/math]

Откуда наименьшим 2015-значным числом, делящимся на [math]17[/math] будет [math]10^{2014}+9[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Nastya Way
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Операция над матрицами

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Revan

15

914

04 окт 2014, 12:15

Доказать, что операция дистрибутивна

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

localhosty

1

280

30 сен 2018, 19:24

Операция деления в полях Галуа

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

IDABSENT

0

207

13 июн 2021, 00:52

Что не так с числом 78?

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Xenia1996

10

639

29 янв 2021, 00:45

Решение с числом j

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Kira_77717

6

530

03 сен 2014, 18:02

Действие с числом e

в форуме Алгебра

faiter_on

3

474

11 сен 2014, 17:18

Действие с комплексным числом

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Anastasiad1123

3

363

27 янв 2016, 20:48

Упростить ряд с числом сочетаний

в форуме Ряды

darthanyan

2

505

07 ноя 2018, 14:25

Вероятность достать шар с нужным числом

в форуме Теория вероятностей

kibernetics

10

548

06 мар 2017, 12:17

Действия с числом 9, как решить без перебора?

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

4

494

24 сен 2017, 09:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved