Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Два нестандартные тригонометрические неравенства, как начать
СообщениеДобавлено: 13 апр 2010, 16:05 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 апр 2010, 14:52
Сообщений: 8
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С помощью каких способов можно доказать эти тригонометрические неравенства, [math]\alpha,\beta\geqslant0[/math]

1. [math]\sin(\alpha+\beta)\leqslant\sin\alpha+\beta[/math]

2. [math]\cos(\alpha+\beta)\geqslant\cos\alpha-\beta[/math]

Уже что только не пробовал :bad: :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два нестандартные тригонометрические неравенства, как начать
СообщениеДобавлено: 13 апр 2010, 20:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь используется неравенство
[math]\sin{x}\leqslant{x}[/math], при [math]0\leqslant{x}[/math].
Это неравенство следует из определения синуса угла.
Рассмотрим, например, первое неравенство. Перенесём [math]\sin\alpha[/math] в левую часть
[math]\sin\left({\alpha+\beta}\right)-\sin\alpha=2\sin\left({\frac{\beta}{2}}\right)\cos\left({\alpha+\frac{\beta}{2}}\right)[/math]
С учётом приведённого выше неравенства, выводим отсюда требуемое неравенство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Prove_It
 Заголовок сообщения: Re: Два нестандартные тригонометрические неравенства, как начать
СообщениеДобавлено: 20 апр 2010, 09:48 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 апр 2010, 16:11
Сообщений: 16
Откуда: Сиэтл, США
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
17 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prove_It писал(а):
С помощью каких способов можно доказать эти тригонометрические неравенства, [math]\alpha,\beta\geqslant0[/math]

1. [math]\sin(\alpha+\beta)\leqslant\sin\alpha+\beta[/math]

Уже что только не пробовал :bad: :(

Альтернативный вариант доказательства неравенства.

Рассмотрим функцию [math]f(\alpha)=\alpha-\sin\alpha[/math], определённую на [math]\mathbb{R}[/math], и исследуем её на минимум на промежутке [math][0;+\infty)[/math]. Поскольку производная этой функции [math]f(\alpha)=1-\cos\alpha[/math] не отрицательна на этом промежутке и принимает нулевые значения при [math]\alpha=2k\pi[/math], то данная функция является возрастающей и принимает наименьшее значение, равное нулю, при [math]\alpha=0[/math].

Поэтому для произвольного значения [math]\beta\geqslant0[/math] выполняются соотношения:

[math]f(\alpha)\leqslant{f(\alpha+\beta)},~\alpha-\sin\alpha\leqslant\alpha+\beta-\sin(\alpha-\beta),~\sin(\alpha+\beta)\leqslant\sin\alpha+\beta.[/math]

Рвенство только при [math]\alpha\in[0;+\infty)[/math] и [math]\beta=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Aaron "Спасибо" сказали:
Prove_It
 Заголовок сообщения: Re: Два нестандартные тригонометрические неравенства, как начать
СообщениеДобавлено: 20 апр 2010, 10:05 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 апр 2010, 16:11
Сообщений: 16
Откуда: Сиэтл, США
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
17 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prove_It писал(а):
С помощью каких способов можно доказать эти тригонометрические неравенства, [math]\alpha,\beta\geqslant0[/math]

1. [math]\cos(\alpha+\beta)\geqslant\cos\alpha-\beta[/math]

Уже что только не пробовал :bad: :(

Рассмотрим функцию [math]f(\alpha)=\alpha+\cos\alpha[/math], определенную на [math]\mathbb{R}[/math], и также исследуем её на минимум на промежутке [math][0;+\infty)[/math]. Поскольку производная [math]f'(\alpha)=1-\sin\alpha[/math] не отрицательна и принимает нулевые значения при [math]\alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/math], то данная функция является возрастающей и принимает на заданном промежутке наименьшее значение, равное единице, при [math]\alpha=0~~\mathop{\min}\limits_{\alpha\in[0;+\infty)}f(\alpha)=f(0)=1[/math].

Поэтому для произвольного значения [math]\beta\geqslant0[/math] имеем:

[math]f(\alpha)\leqslant{f(\alpha+\beta)},~\alpha+\cos\alpha\leqslant\alpha+\beta+\cos(\alpha+\beta),~\cos(\alpha+\beta)\geqslant\cos\alpha-\beta[/math]

Равенство возможно только при [math]\alpha\in[0;+\infty)[/math] и [math]\beta=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Aaron "Спасибо" сказали:
Prove_It
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нестандартные тригонометрические уравнения

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Redycter12

4

730

12 янв 2018, 20:28

Тригонометрические неравенства

в форуме Тригонометрия

Evgeny121

6

459

27 июл 2018, 15:12

Тригонометрические неравенства

в форуме Алгебра

Olga1975

1

302

06 май 2015, 23:12

Тригонометрические неравенства

в форуме Тригонометрия

dasha math

4

531

20 янв 2015, 00:40

Тригонометрические неравенства

в форуме Тригонометрия

Olga1975

10

1880

28 янв 2015, 22:21

Тригонометрические неравенства

в форуме Алгебра

gert79

1

341

09 ноя 2015, 22:35

Тригонометрические неравенства

в форуме Тригонометрия

Olga1975

1

407

15 фев 2015, 17:52

Тригонометрические неравенства

в форуме Алгебра

Olga1975

1

296

06 май 2015, 23:09

Тригонометрические неравенства

в форуме Алгебра

Olga1975

14

713

20 май 2015, 21:51

Тригонометрические неравенства

в форуме Тригонометрия

Morington2000

1

86

14 янв 2024, 19:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved