Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Prove_It |
|
|
1. [math]\sin(\alpha+\beta)\leqslant\sin\alpha+\beta[/math] 2. [math]\cos(\alpha+\beta)\geqslant\cos\alpha-\beta[/math] Уже что только не пробовал |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Здесь используется неравенство
[math]\sin{x}\leqslant{x}[/math], при [math]0\leqslant{x}[/math]. Это неравенство следует из определения синуса угла. Рассмотрим, например, первое неравенство. Перенесём [math]\sin\alpha[/math] в левую часть [math]\sin\left({\alpha+\beta}\right)-\sin\alpha=2\sin\left({\frac{\beta}{2}}\right)\cos\left({\alpha+\frac{\beta}{2}}\right)[/math] С учётом приведённого выше неравенства, выводим отсюда требуемое неравенство. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Prove_It |
||
Aaron |
|
|
Prove_It писал(а): С помощью каких способов можно доказать эти тригонометрические неравенства, [math]\alpha,\beta\geqslant0[/math] 1. [math]\sin(\alpha+\beta)\leqslant\sin\alpha+\beta[/math] Уже что только не пробовал Альтернативный вариант доказательства неравенства. Рассмотрим функцию [math]f(\alpha)=\alpha-\sin\alpha[/math], определённую на [math]\mathbb{R}[/math], и исследуем её на минимум на промежутке [math][0;+\infty)[/math]. Поскольку производная этой функции [math]f(\alpha)=1-\cos\alpha[/math] не отрицательна на этом промежутке и принимает нулевые значения при [math]\alpha=2k\pi[/math], то данная функция является возрастающей и принимает наименьшее значение, равное нулю, при [math]\alpha=0[/math]. Поэтому для произвольного значения [math]\beta\geqslant0[/math] выполняются соотношения: [math]f(\alpha)\leqslant{f(\alpha+\beta)},~\alpha-\sin\alpha\leqslant\alpha+\beta-\sin(\alpha-\beta),~\sin(\alpha+\beta)\leqslant\sin\alpha+\beta.[/math] Рвенство только при [math]\alpha\in[0;+\infty)[/math] и [math]\beta=0[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Aaron "Спасибо" сказали: Prove_It |
||
Aaron |
|
|
Prove_It писал(а): С помощью каких способов можно доказать эти тригонометрические неравенства, [math]\alpha,\beta\geqslant0[/math] 1. [math]\cos(\alpha+\beta)\geqslant\cos\alpha-\beta[/math] Уже что только не пробовал Рассмотрим функцию [math]f(\alpha)=\alpha+\cos\alpha[/math], определенную на [math]\mathbb{R}[/math], и также исследуем её на минимум на промежутке [math][0;+\infty)[/math]. Поскольку производная [math]f'(\alpha)=1-\sin\alpha[/math] не отрицательна и принимает нулевые значения при [math]\alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/math], то данная функция является возрастающей и принимает на заданном промежутке наименьшее значение, равное единице, при [math]\alpha=0~~\mathop{\min}\limits_{\alpha\in[0;+\infty)}f(\alpha)=f(0)=1[/math]. Поэтому для произвольного значения [math]\beta\geqslant0[/math] имеем: [math]f(\alpha)\leqslant{f(\alpha+\beta)},~\alpha+\cos\alpha\leqslant\alpha+\beta+\cos(\alpha+\beta),~\cos(\alpha+\beta)\geqslant\cos\alpha-\beta[/math] Равенство возможно только при [math]\alpha\in[0;+\infty)[/math] и [math]\beta=0[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Aaron "Спасибо" сказали: Prove_It |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Нестандартные тригонометрические уравнения | 4 |
730 |
12 янв 2018, 20:28 |
|
Тригонометрические неравенства
в форуме Тригонометрия |
6 |
459 |
27 июл 2018, 15:12 |
|
Тригонометрические неравенства
в форуме Алгебра |
1 |
302 |
06 май 2015, 23:12 |
|
Тригонометрические неравенства
в форуме Тригонометрия |
4 |
531 |
20 янв 2015, 00:40 |
|
Тригонометрические неравенства
в форуме Тригонометрия |
10 |
1880 |
28 янв 2015, 22:21 |
|
Тригонометрические неравенства
в форуме Алгебра |
1 |
341 |
09 ноя 2015, 22:35 |
|
Тригонометрические неравенства
в форуме Тригонометрия |
1 |
407 |
15 фев 2015, 17:52 |
|
Тригонометрические неравенства
в форуме Алгебра |
1 |
296 |
06 май 2015, 23:09 |
|
Тригонометрические неравенства
в форуме Алгебра |
14 |
713 |
20 май 2015, 21:51 |
|
Тригонометрические неравенства
в форуме Тригонометрия |
1 |
86 |
14 янв 2024, 19:01 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |