Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Докажите, что корни уравнения - целые числа
СообщениеДобавлено: 01 ноя 2013, 19:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2013, 18:44
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно доказать, что корни уравнения - целые числа:
[math](\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }+\sqrt[3]{2-\sqrt{5} })x^{2}-4x+3=0[/math]
Если посчитать на калькуляторе выражение в скобках, то получится, что оно равно 1:
[math](\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }+\sqrt[3]{2-\sqrt{5} })=1[/math]
После чего уравнение спокойно решается с корнями 3 и 1.
Только вот самому решить это выражение, чтоб решение изобразить на бумаге и сдать, не получается никак(
Прошу помочь :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что корни уравнения - целые числа
СообщениеДобавлено: 01 ноя 2013, 20:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно извлечь кубич. корень. Для этого нужно представить выражение под корнем в виде некоего выражения в кубе.
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
Пусть под корнем у нас должно получиться [math](a+b\sqrt{5})^{3}[/math]
Раскроем скобки: [math]a^{3}+3\sqrt{5}a^{2}b+15ab^{2}+5\sqrt{5}b^{3}[/math]
Составляем систему:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& a^{3}+ 15ab^{2}=2 \\& 3a^{2}b+5b^{3}=1 \end{aligned}\right.[/math]
Что такое br - не знаю, вставилось автоматически, убрать не могу.
Второе уравнение умножаем на 2. Приравниваем левые части уравнений. Получаем симметрическое уравнение, которое решается заменой z=a/b
Получаем единственный корень z=1.
Теперь уже легко найти a=b=1/2.
То есть [math]\sqrt[3]{2+\sqrt{5} }=\frac{ 1+\sqrt{5} }{ 2 }[/math]
Со вторым корнем аналогично.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что корни уравнения - целые числа
СообщениеДобавлено: 01 ноя 2013, 21:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще одно направление:
[math]\left(\sqrt[3] u+\sqrt[3] v\right)^3=u+v+3\sqrt[3]{uv}(\sqrt[3] u+\sqrt[3] v)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что корни уравнения - целые числа
СообщениеДобавлено: 01 ноя 2013, 23:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radix писал(а):
Получаем симметрическое уравнение, которое решается заменой z=a/b

Однородное уравнение! :(
Почему-то я их всегда путаю. :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

24

979

04 май 2018, 12:05

Целые числа

в форуме Алгебра

Iskadmx

0

267

10 янв 2016, 15:52

Натуральные и целые числа

в форуме Алгебра

Ildar32

15

566

27 янв 2018, 23:57

Найдите все целые числа

в форуме Алгебра

chelnikov

6

439

10 окт 2016, 16:13

Найти p+q+r, где p,q, r - целые числа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Oks31

9

313

07 фев 2022, 07:38

Существуют ли целые числа

в форуме Алгебра

shifo

12

605

01 мар 2018, 15:27

Найти целые числа, удовлетворяющие неравенству

в форуме Алгебра

FoReVer_17

2

718

06 дек 2014, 10:11

Можно ли так разбить целые числа от 0 до 2021 на пары?

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

10

582

19 фев 2021, 01:45

Комплексные числа, найти корни к-го числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

bellkross

4

526

04 окт 2016, 16:43

Найти целые решения уравнения

в форуме Алгебра

alinamu

4

182

27 янв 2020, 00:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved