Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Олимпиадная задача http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=27319 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | vadik2409 [ 29 окт 2013, 00:23 ] |
Заголовок сообщения: | Олимпиадная задача |
Помогите решить задачу, суть которой заключается в том, что нужно найти натуральные числа n, при которых дробь 2n+3/3n+2 сократима. |
Автор: | Andy [ 29 окт 2013, 01:32 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Олимпиадная задача |
vadik2409 Ну хотя бы попробуйте решить другую задачу. Найдите те значения [math]n\in \mathbb{N}[/math], при которых заданная дробь не будет сократимой. В этом случае числа [math]2n+3[/math] и [math]3n+2[/math] будут взаимно простыми. Для них будет выполняться условие [math]1=a(2n+3)+b(3n+2)[/math]. Исключив найденные значения [math]n[/math] из множества натуральных чисел, Вы получите искомое... Это не директива, а всего лишь предложение. |
Автор: | dr Watson [ 29 окт 2013, 06:31 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Олимпиадная задача |
Легко видеть, что [math]\gcd (a, b)=\gcd (a+\lambda b, b)[/math] при любом целом [math]\lambda[/math]. Здесь [math]\gcd (a, b)[/math] - наибольший общий делитель целых [math]a[/math] и [math]b[/math]. С помощью этого полезного тривиального замечания легко и непринужденно вычисляем [math]\gcd (3n+2, 2n+3)=\gcd (n-1, 2n+3)=\gcd (n-1, 5)[/math]. Отсюда ясно, что сократимость будет тогда и только тогда, когда [math]n-1[/math] делится на [math]5[/math], то есть при [math]n\equiv 1\pmod5[/math]. |
Автор: | vadik2409 [ 29 окт 2013, 22:41 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Олимпиадная задача |
dr Watson Извините, не могли бы вы мне объяснить ход вычисления. Не серчайте за мою глуповатость( |
Автор: | Andy [ 29 окт 2013, 22:58 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Олимпиадная задача |
dr Watson [offtop] dr Watson писал(а): Легко видеть, что [math]\gcd (a, b)=\gcd (a+\lambda b, b)[/math] при любом целом [math]\lambda[/math]. Здесь [math]\gcd (a, b)[/math] - наибольший общий делитель целых [math]a[/math] и [math]b[/math]. С помощью этого полезного тривиального замечания легко и непринужденно вычисляем [math]\gcd (3n+2, 2n+3)=\gcd (n-1, 2n+3)=\gcd (n-1, 5)[/math]. Отсюда ясно, что сократимость будет тогда и только тогда, когда [math]n-1[/math] делится на [math]5[/math], то есть при [math]n\equiv 1\pmod5[/math]. Особенно мне понравилось словосочетание "легко видеть". Если бы автору сопроса такое было бы легко видеть, он не стал бы обращаться за помощью. Тем более, что задача в рамках теории чисел не производит впечатления олимпиадной. И ведь придётся Вам давать ему объяснения, если Вы добрый человек. А я тоже не злой, но не люблю, когда олимпиадные задачи отдают на откуп другим без малейших попыток самостоятельного решения. |
Автор: | vadik2409 [ 29 окт 2013, 23:12 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Олимпиадная задача |
AndyУважаемый(ая) Andy, я понимаю ваше негодование (если это можно так назвать) по поводу открытого мной вопроса.Не хотелось бы оправдываться, но в связи с жизненными обстоятельствами(болезнью) у меня не было времени решить эту задачу, а также у меня не хватает опыта в решении подобных задач. А поскольку от меня потребовали предоставить решение этой задачи я обратился за помощью к пользователям данного портала. |
Автор: | Andy [ 29 окт 2013, 23:18 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Олимпиадная задача |
vadik2409 |
Автор: | vadik2409 [ 29 окт 2013, 23:23 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Олимпиадная задача |
Andy |
Автор: | Andy [ 29 окт 2013, 23:40 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Олимпиадная задача |
vadik2409 Жаль Вас. Ну ладно. Про наибольший общий делитель двух чисел Вам что-нибудь известно? Задачи на нахождение НОД решали в классе? |
Автор: | vadik2409 [ 29 окт 2013, 23:48 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Олимпиадная задача |
Andy Конечно решали) |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |