Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Олимпиадная задача
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=27319
Страница 1 из 2

Автор:  vadik2409 [ 29 окт 2013, 00:23 ]
Заголовок сообщения:  Олимпиадная задача

Помогите решить задачу, суть которой заключается в том, что нужно найти натуральные числа n, при которых дробь 2n+3/3n+2 сократима.

Автор:  Andy [ 29 окт 2013, 01:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная задача

vadik2409
По-моему, вся ценность "олимпиадных" задач заключается в том, что они дают возможность решающему их проявить свои собственные способности. Если же Вы уповаете на других, а потом используете их решения как свои собственные, то какой смысл вообще браться за эти задачи?


Ну хотя бы попробуйте решить другую задачу. Найдите те значения [math]n\in \mathbb{N}[/math], при которых заданная дробь не будет сократимой. В этом случае числа [math]2n+3[/math] и [math]3n+2[/math] будут взаимно простыми. Для них будет выполняться условие [math]1=a(2n+3)+b(3n+2)[/math]. Исключив найденные значения [math]n[/math] из множества натуральных чисел, Вы получите искомое...

Это не директива, а всего лишь предложение. :)

Автор:  dr Watson [ 29 окт 2013, 06:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная задача

Легко видеть, что [math]\gcd (a, b)=\gcd (a+\lambda b, b)[/math] при любом целом [math]\lambda[/math]. Здесь [math]\gcd (a, b)[/math] - наибольший общий делитель целых [math]a[/math] и [math]b[/math].

С помощью этого полезного тривиального замечания легко и непринужденно вычисляем

[math]\gcd (3n+2, 2n+3)=\gcd (n-1, 2n+3)=\gcd (n-1, 5)[/math].

Отсюда ясно, что сократимость будет тогда и только тогда, когда [math]n-1[/math] делится на [math]5[/math], то есть при [math]n\equiv 1\pmod5[/math].

Автор:  vadik2409 [ 29 окт 2013, 22:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная задача

dr Watson
Извините, не могли бы вы мне объяснить ход вычисления. Не серчайте за мою глуповатость(

Автор:  Andy [ 29 окт 2013, 22:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная задача

dr Watson
[offtop]
dr Watson писал(а):
Легко видеть, что [math]\gcd (a, b)=\gcd (a+\lambda b, b)[/math] при любом целом [math]\lambda[/math]. Здесь [math]\gcd (a, b)[/math] - наибольший общий делитель целых [math]a[/math] и [math]b[/math].

С помощью этого полезного тривиального замечания легко и непринужденно вычисляем

[math]\gcd (3n+2, 2n+3)=\gcd (n-1, 2n+3)=\gcd (n-1, 5)[/math].

Отсюда ясно, что сократимость будет тогда и только тогда, когда [math]n-1[/math] делится на [math]5[/math], то есть при [math]n\equiv 1\pmod5[/math].

Особенно мне понравилось словосочетание "легко видеть". Если бы автору сопроса такое было бы легко видеть, он не стал бы обращаться за помощью. Тем более, что задача в рамках теории чисел не производит впечатления олимпиадной. И ведь придётся Вам давать ему объяснения, если Вы добрый человек. :)

А я тоже не злой, но не люблю, когда олимпиадные задачи отдают на откуп другим без малейших попыток самостоятельного решения.

Автор:  vadik2409 [ 29 окт 2013, 23:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная задача

AndyУважаемый(ая) Andy, я понимаю ваше негодование (если это можно так назвать) по поводу открытого мной вопроса.Не хотелось бы оправдываться, но в связи с жизненными обстоятельствами(болезнью) у меня не было времени решить эту задачу, а также у меня не хватает опыта в решении подобных задач. А поскольку от меня потребовали предоставить решение этой задачи я обратился за помощью к пользователям данного портала.

Автор:  Andy [ 29 окт 2013, 23:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная задача

vadik2409
Вы студент механико-математического факультета? Или просто взяли на себя обязательство, которое не смогли потом исполнить?..

Но важно не это, а то, что Вы не попробовали решить задачу сами. И болезнь этому не оправдание. В случае болезни берётся академический отпуск.

Автор:  vadik2409 [ 29 окт 2013, 23:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная задача

Andy

Я ученик 10 класса общеобразовательной школы. Да, наверное лучше будет сказать, что я безответственный и взял на себя обязательство, которое не смог выполнить.

Автор:  Andy [ 29 окт 2013, 23:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная задача

vadik2409
Жаль Вас. Ну ладно. Про наибольший общий делитель двух чисел Вам что-нибудь известно? Задачи на нахождение НОД решали в классе?

Автор:  vadik2409 [ 29 окт 2013, 23:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Олимпиадная задача

Andy
Конечно решали)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/