Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Квадратное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2010, 22:27 
Не в сети
Продвинутый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 авг 2010, 20:17
Сообщений: 94
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
11 раз в 11 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите разобраться с квадратным уравнением с модулем и параметром.

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет 4 решения

[math]|1-ax|=1+(1-2a)x+ax^2[/math]

Решал аналитически, тут же надо раскрыть модуль и рассмотреть 2 промежутка x<>1/a?
Вот если так, то еще надо учитывать а<>0. И тогда получится 4 системы. При каждом раскрытии модуля получается квадратное уравнение. чтобы было 4 решения,надо же что бы дискриминант был строго больше нуля? Решите кто может пожалуйста, охото узнать ответ :wink:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2010, 22:34 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При [math]a=0[/math] данное уравнение имеет одно решение, следовательно, [math]a=0[/math] не удовлетворяет условию задачи. При [math]\ a \ne 0[/math] домножим обе части данного уравнения на [math]a[/math] и сделаем замену: [math]t=ax[/math]. Далее нужно в получившемся уравнении раскрыть знак модуля после чего мы получим совокупность двух систем, каждая из которых должна иметь по два решения. Для этого нужно использовать критерий того, что оба корня квадратного уравнения больше (меньше) некоторого заданного числа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2010, 09:32 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На суд участников проекта
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Alexdemath
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2010, 02:36 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin, вроде, всё верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2010, 08:05 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Но мне кажется, что есть какое-то решение проще

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2010, 11:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ошибку искать лень, а короче можно.
Пойду по плану, который изложил Uncle Fedor.

1) [math]a=0[/math] уже исключен

2) Если [math]a<0[/math], то переносом правой части в левую там получим выпуклую функцию. Выпуклая функция пересекается с любой прямой, в частности с осью абсцисс, не более чем в двух точках, поэтому этот случай тоже исключается.

Остается
3) [math]a>0[/math]. Так как парабола может пересекаться с прямой не более чем в двух точках, то 4 пересечения мы сможем набрать только если каждая из нижеследующих систем имеет ровно два решения:

[math]\left\{\begin{matrix}ax<1\\ 1-ax=1+(1-2a)x+ax^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}ax>1\\ ax-1=1+(1-2a)x+ax^2\end{matrix}\right.[/math]

Уравнение из первой системы имеет два корня [math]x=0[/math] и [math]x=1-\frac1a[/math]. Первый из них удовлетворяет неравенству всегда, а второй при [math]a<2[/math].

Уравнение из второй системы имеет два корня в случае [math]9a^2-14a+1>0[/math]. Чтобы каждый из корней удовлетворял неравенству [math]x>\frac1a[/math] нужно, чтобы ему удовлетворял меньший:
[math]\frac{3a-1-\sqrt{9a^2-14a+1}}{2a}>\frac1a \Leftrightarrow 3(a-1)>\sqrt{9a^2-14a+1}[/math].

Из последнего неравенства следует, что [math]a>1[/math]. Возведя его в квадрат, получим уже имеющееся [math]a<2[/math]. Остаются неравенства [math]9a^2-14a+1>0[/math] и [math]1<a<2[/math].

Отсюда ответ: [math]\frac{7+2\sqrt{10}}{9}<a<2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Alexdemath
 Заголовок сообщения: Re: Квадратное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2010, 11:40 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Перепутал при записи ответа "х" с "а", хотя специально посчитал а.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Квадратное уравнение с параметром

в форуме Алгебра

Jazzman

3

650

02 апр 2014, 18:56

Квадратное уравнение с параметром

в форуме Алгебра

Obutasan

1

293

01 авг 2015, 00:45

Квадратное уравнение с параметром

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

7

476

06 фев 2018, 23:53

Уравнение с параметром и модулем

в форуме Алгебра

alinamu

10

427

08 окт 2019, 20:34

Уравнение с параметром и модулем

в форуме Алгебра

vestaesenina

3

233

19 фев 2018, 23:55

Квадратное неравенство с параметром

в форуме Алгебра

liliya347347

3

68

26 янв 2024, 14:19

Решил квадратное неравенство с параметром, но не до конца

в форуме Алгебра

Laplacian

27

697

27 янв 2018, 21:42

Неравенство с модулем и параметром

в форуме Алгебра

Bonaqua

18

1418

12 апр 2015, 16:56

Система с модулем и параметром

в форуме Алгебра

pooroh

6

604

03 ноя 2016, 02:14

Задание с параметром и модулем

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Kristinadefa

2

393

24 сен 2015, 14:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved