Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Dosaev |
|
||
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет 4 решения [math]|1-ax|=1+(1-2a)x+ax^2[/math] Решал аналитически, тут же надо раскрыть модуль и рассмотреть 2 промежутка x<>1/a? Вот если так, то еще надо учитывать а<>0. И тогда получится 4 системы. При каждом раскрытии модуля получается квадратное уравнение. чтобы было 4 решения,надо же что бы дискриминант был строго больше нуля? Решите кто может пожалуйста, охото узнать ответ |
|||
Вернуться к началу | |||
Uncle Fedor |
|
|
При [math]a=0[/math] данное уравнение имеет одно решение, следовательно, [math]a=0[/math] не удовлетворяет условию задачи. При [math]\ a \ne 0[/math] домножим обе части данного уравнения на [math]a[/math] и сделаем замену: [math]t=ax[/math]. Далее нужно в получившемся уравнении раскрыть знак модуля после чего мы получим совокупность двух систем, каждая из которых должна иметь по два решения. Для этого нужно использовать критерий того, что оба корня квадратного уравнения больше (меньше) некоторого заданного числа.
|
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
||
На суд участников проекта
|
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: Alexdemath |
|||
Alexdemath |
|
||
pewpimkin, вроде, всё верно.
|
|||
Вернуться к началу | |||
pewpimkin |
|
||
Но мне кажется, что есть какое-то решение проще
|
|||
Вернуться к началу | |||
dr Watson |
|
||
Ошибку искать лень, а короче можно.
Пойду по плану, который изложил Uncle Fedor. 1) [math]a=0[/math] уже исключен 2) Если [math]a<0[/math], то переносом правой части в левую там получим выпуклую функцию. Выпуклая функция пересекается с любой прямой, в частности с осью абсцисс, не более чем в двух точках, поэтому этот случай тоже исключается. Остается 3) [math]a>0[/math]. Так как парабола может пересекаться с прямой не более чем в двух точках, то 4 пересечения мы сможем набрать только если каждая из нижеследующих систем имеет ровно два решения: [math]\left\{\begin{matrix}ax<1\\ 1-ax=1+(1-2a)x+ax^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}ax>1\\ ax-1=1+(1-2a)x+ax^2\end{matrix}\right.[/math] Уравнение из первой системы имеет два корня [math]x=0[/math] и [math]x=1-\frac1a[/math]. Первый из них удовлетворяет неравенству всегда, а второй при [math]a<2[/math]. Уравнение из второй системы имеет два корня в случае [math]9a^2-14a+1>0[/math]. Чтобы каждый из корней удовлетворял неравенству [math]x>\frac1a[/math] нужно, чтобы ему удовлетворял меньший: [math]\frac{3a-1-\sqrt{9a^2-14a+1}}{2a}>\frac1a \Leftrightarrow 3(a-1)>\sqrt{9a^2-14a+1}[/math]. Из последнего неравенства следует, что [math]a>1[/math]. Возведя его в квадрат, получим уже имеющееся [math]a<2[/math]. Остаются неравенства [math]9a^2-14a+1>0[/math] и [math]1<a<2[/math]. Отсюда ответ: [math]\frac{7+2\sqrt{10}}{9}<a<2[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: Alexdemath |
|||
pewpimkin |
|
||
Перепутал при записи ответа "х" с "а", хотя специально посчитал а.
|
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Квадратное уравнение с параметром
в форуме Алгебра |
3 |
650 |
02 апр 2014, 18:56 |
|
Квадратное уравнение с параметром
в форуме Алгебра |
1 |
293 |
01 авг 2015, 00:45 |
|
Квадратное уравнение с параметром
в форуме Алгебра |
7 |
476 |
06 фев 2018, 23:53 |
|
Уравнение с параметром и модулем
в форуме Алгебра |
10 |
427 |
08 окт 2019, 20:34 |
|
Уравнение с параметром и модулем
в форуме Алгебра |
3 |
233 |
19 фев 2018, 23:55 |
|
Квадратное неравенство с параметром
в форуме Алгебра |
3 |
68 |
26 янв 2024, 14:19 |
|
Решил квадратное неравенство с параметром, но не до конца
в форуме Алгебра |
27 |
697 |
27 янв 2018, 21:42 |
|
Неравенство с модулем и параметром
в форуме Алгебра |
18 |
1418 |
12 апр 2015, 16:56 |
|
Система с модулем и параметром
в форуме Алгебра |
6 |
604 |
03 ноя 2016, 02:14 |
|
Задание с параметром и модулем
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
393 |
24 сен 2015, 14:54 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |