Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Иррациональное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 18 окт 2010, 02:53 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 апр 2010, 10:48
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Объясните, пожалуйста, по пунктам, как решить это иррациональное уравнение с модулем и параметром:

[math]a\left|x+\sqrt{1-x^2}\right|+2x^2-1=0[/math].

Буду очень благодарна!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 18 окт 2010, 09:21 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4380
Cпасибо сказано: 556
Спасибо получено:
1073 раз в 950 сообщениях
Очков репутации: 313

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]a=0[/math]. Тогда [math]a\left|x+\sqrt{1-x^2}\right|+2x^2-1=0[/math] [math]\Leftrightarrow \ 2x^2-1=0[/math].
Пусть [math]a \not=0[/math]. Тогда [math]a\left|x+\sqrt{1-x^2}\right|+2x^2-1=0[/math] [math]\Leftrightarrow \ \left|x+\sqrt{1-x^2}\right|=\frac{1-2x^2}{a}[/math].Учитывая, что [math]1-x^2 \geq 0[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]x \in [-1;1][/math], рассмотрим два варианта: [math]x\in [-1;0][/math] и [math]x \in [0;1][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 18 окт 2010, 11:37 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19759
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11617
Спасибо получено:
5292 раз в 4771 сообщениях
Очков репутации: 703

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ещё, учитывая, что [math]|x+\sqrt{1-x^2}|\geq0[/math], то и [math]\frac{1-2x^2}{a}\geq0[/math], тогда [math]x\in[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 20 окт 2010, 11:41 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7195
Cпасибо сказано: 451
Спасибо получено:
3542 раз в 2813 сообщениях
Очков репутации: 728

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Изображение
Изображение

Может быть так

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 20 окт 2010, 14:08 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Откуда: Севастополь
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3137 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin, я извиняюсь, а Вы уверены в ответе?

В любом случае корень [math]x=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/math] должен быть при всех интервалах [math]a[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 20 окт 2010, 14:15 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7195
Cпасибо сказано: 451
Спасибо получено:
3542 раз в 2813 сообщениях
Очков репутации: 728

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, я понимаю.Не совсем верно записал ответ. Понятно, что при любом а x= корень из двух на два будет. Этот корень просто уничтожает а. А в остальном вроде бы уверен.Кое при каких а проверил.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 20 окт 2010, 14:30 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7195
Cпасибо сказано: 451
Спасибо получено:
3542 раз в 2813 сообщениях
Очков репутации: 728

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
График бы построить а=1-2хквадрат, деленное на модуль, все стало бы видно.Вечером попробую

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 20 окт 2010, 15:13 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Откуда: Севастополь
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3137 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin писал(а):
Да, я понимаю.Не совсем верно записал ответ. Понятно, что при любом а x= корень из двух на два будет. Этот корень просто уничтожает а. А в остальном вроде бы уверен.Кое при каких а проверил.


Например, проверьте при [math]a=-\frac{1}{2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 20 окт 2010, 15:27 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Откуда: Севастополь
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3137 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я начал решать это уравнение так.

Запишем данное уравнение в таком виде:

[math]{a\!\left|x+\sqrt{1-x^2}\right|+\left(x-\sqrt{1-x^2}\right)\!\!\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)=0}[/math]

Замечаем, что оно равносильно совокупности пяти смешанных систем:

[math]{\left\{\!\begin{gathered}a\in\mathbb{R},\hfill\\x+\sqrt{1-x^2}=0,\hfill\\\end{gathered}\right.~~~~~~~\left\{\!\begin{gathered}a=0,\hfill\\2x^2-1=0,\hfill\\\end{gathered}\right.}[/math]

[math]{\left\{\!\begin{gathered}a>0,\hfill\\x+\sqrt{1-x^2}>0,\hfill\\x-\sqrt{1-x^2}<0,\hfill\\\sqrt{1-x^2}=x+a;\hfill\\\end{gathered}\right.~~~~~~~\left\{\!\begin{gathered}a<0,\hfill\\x+\sqrt{1-x^2}>0,\hfill\\x-\sqrt{1-x^2}>0,\hfill\\\sqrt{1-x^2}=x+a;\hfill\\\end{gathered}\right.~~~~~~~\left\{\!\begin{gathered}a<0,\hfill\\x+\sqrt{1-x^2}<0,\hfill\\x-\sqrt{1-x^2}<0,\hfill\\\sqrt{1-x^2}=x+a.\hfill\\\end{gathered}\right.}[/math]

Решив неравенства и уравнения, входящие в эти системы, получим:

[math]{\left\{\!\begin{gathered}x=-\frac{1}{\sqrt2},\hfill\\a\in\mathbb{R};\hfill\\\end{gathered}\right.~~~~~~~\left\{\!\begin{gathered}x=\pm\frac{1}{\sqrt2},\hfill\\a=0;\hfill\\\end{gathered}\right.~~~~~~~\left\{\!\begin{gathered}2x^2+2ax+a^2-1=0,\hfill\\-\frac{1}{\sqrt2}<x<\frac{1}{\sqrt2},\hfill\\a\in(0;\infty);\hfill\\\end{gathered}\right.}[/math]

[math]{\left\{\!\begin{gathered}2x^2+2ax+a^2-1=0,\hfill\\-\frac{1}{\sqrt2}<x\leqslant1,\hfill\\a\in(-\infty;0);\hfill\\\end{gathered}\right.~~~~~~~\left\{\!\begin{gathered}2x^2+2ax+a^2-1=0,\hfill\\-1\leqslant{x}<-\frac{1}{\sqrt2},\hfill\\a\in(-\infty;0).\hfill\\\end{gathered}\right.}[/math]

Далее можно построить в системе координат Oax графики уравнений:

[math]2x^2+2ax+a^2-1=0[/math] и [math]2x^2+2ax+a^2-1=0[/math].

Затем решить их относительно x и рассмотреть на заданных интервалах.

Но не уверен, что этот подход рационален.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное уравнение с модулем и параметром
СообщениеДобавлено: 20 окт 2010, 15:42 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7195
Cпасибо сказано: 451
Спасибо получено:
3542 раз в 2813 сообщениях
Очков репутации: 728

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще одна попытка

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Иррациональное уравнение с модулем

в форуме Алгебра

Imanna

17

939

26 окт 2013, 02:49

Иррациональное уравнение с модулем

в форуме Алгебра

sfanter

9

456

26 май 2014, 10:20

Иррациональное уравнение с параметром

в форуме Алгебра

fluramusaeva

19

1125

14 янв 2015, 02:35

Уравнение с параметром и модулем

в форуме Алгебра

alinamu

10

379

08 окт 2019, 20:34

Уравнение с модулем и параметром

в форуме Алгебра

excellent

5

478

02 ноя 2012, 16:07

Уравнение с параметром и модулем

в форуме Алгебра

vestaesenina

3

224

19 фев 2018, 23:55

Уравнение с модулем и параметром

в форуме Алгебра

Imanna

5

507

23 окт 2013, 09:25

Уравнение с параметром и модулем

в форуме Алгебра

maked0n

5

559

08 сен 2013, 10:34

Уравнение с параметром и модулем

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

kerim

23

1487

15 июн 2013, 06:55

Логарифмическое уравнение с параметром и модулем

в форуме Алгебра

kerim

3

883

24 июл 2012, 19:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved