Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Наименьшее общее кратное
СообщениеДобавлено: 13 авг 2019, 20:19 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 121
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Берется наименьшее общее кратное для 5 подряд идущих натуральных чисел, начиная с натурального n.
Затем берется еще одно наименьшее общее кратное для 5 подряд идущих натуральных чисел, начиная с натурального n+1.
Первое число делится на второе, и результат обозначим через z.
Найти минимальное z для всех n.
У меня путем несложных вычислений получается 0.058
При этом n=12

При увеличении n результат z=0.083

Как доказать, что 0.058 - действительно минимальный результат ?
Или не минимальный ...

Решение сильно простое, и где-то засада

Это задача с марафона dxdy.ru под номером ММ247

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшее общее кратное
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 08:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4686
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
1004 раз в 913 сообщениях
Очков репутации: 216

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
s_e_r_g писал(а):
Решение сильно простое, и где-то засада


а де решение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшее общее кратное
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 09:37 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 121
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для n=12
lcm(12,13,14,15,16) / lcm(13,14,15,16,17) = 21840 / 371280 = 0.058

Например для n>1000
lcm(1008,,1009,1010,1011,1012) / lcm(1009,1010,1011,1012,1013) = 43791870774960 / 528109108274220 = 0.083

В вики описано два варианта для вычисления НОК - один через НОД, второй через факторизацию
В комбинации 13,14,15,16,17 присутствуют два простых числа, но существует много комбинаций из 5 подряд идущих
чисел, в которых есть два простых, но именно эта комбинация минимальна

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшее общее кратное
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 09:49 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4686
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
1004 раз в 913 сообщениях
Очков репутации: 216

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это, конечно, не решение. Последнее предложение вообще к задаче никакого отношения не имеет

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшее общее кратное
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 09:59 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 121
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Берутся 4 подряд идущих натуральных числа
Из них составляются две одинаковых последовательности
К первой добавляется число слева
Ко второй добавляется число справа
gcd(a, b) двух подряд идущих натуральных чисел кажется всегда равна 1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшее общее кратное
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 10:12 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4686
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
1004 раз в 913 сообщениях
Очков репутации: 216

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это уже лучше, но пока выглядит как набор разрозненных фактов (но уже имеющих отношение к делу)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшее общее кратное
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 10:17 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 121
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lcm четырех чисел одинакова для обоих последовательностей
Обозначим ее как
lcm(n, n+1, n+2, n+3) = lcm4
Нужно вычислить
lcm(lcm4, n-1)
и
lcm(lcm4, n+4)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшее общее кратное
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 10:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4686
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
1004 раз в 913 сообщениях
Очков репутации: 216

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, примерно так я бы и начинал. Только сами кратные найти не очень получится, а вот оценить частное вполне возможно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшее общее кратное
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 10:50 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 121
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lcm(n, n+1) = n^2+n
lcm(n+2, n+3) = n^2 + 5n + 6
lcm4 = lcm(n^2+n, n^2+5n+6)

Еще кажется теорема есть
HOД(a, b) * НОК(a, b) = a * b

lcm4 = (n^2+n) *( n^2+5n+6) / НОД(n^2+n, n^2+5n+6)

НОД в знаменателе последней дроби кажется всегда = 2

Далее вычисляем lcm4 как полином 4-й степени

Потом вычисляем
lcm(lcm4, n-1)
и
lcm(lcm4, n+4)
Но тут может быть засада с НОД

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наименьшее общее кратное
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 13:04 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 121
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lcm1 = lcm(lcm4, n-1) = n^5 + 5n^4 + 5n^3 - 5n^2 - 6n / 48
lcm2 = lcm(lcm4, n+4) = n^5 + 10n^4 + 35n^3 + 50n^2 + 24n / 6

Имеем дробь, числитель которой равен lcm1, знаменатель - lcm2 (боюсь ошибиться)

И эта дробь изменяется от -0.025 до +0.125 при росте n


Последний раз редактировалось s_e_r_g 14 авг 2019, 13:46, всего редактировалось 4 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти два числа, зная их разность и наименьшее общее кратное

в форуме Алгебра

Stas

1

660

25 ноя 2010, 19:32

кратное интегрирование

в форуме Интегральное исчисление

Kaprizylya

2

225

11 дек 2011, 15:47

Число, кратное 7, как ни переставляй

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

8

258

13 июл 2017, 16:14

Вероятность получить число, кратное трём

в форуме Теория вероятностей

yarh

4

186

15 янв 2018, 23:37

Найти вероятность того. что выпадет одно число кратное 3?

в форуме Теория вероятностей

anyboose

1

535

05 июн 2013, 08:27

Наименьшее значение

в форуме Дифференциальное исчисление

Kristinadefa

1

183

09 сен 2015, 16:42

Наименьшее значение

в форуме Тригонометрия

Kosttya125

1

204

25 ноя 2014, 14:56

Наименьшее значение

в форуме Алгебра

Misha1

5

352

25 май 2013, 22:19

Определить наименьшее N

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MrArtemR

6

343

01 мар 2016, 22:33

Наименьшее значение

в форуме Алгебра

Vaaanya

3

298

17 ноя 2012, 15:28


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved