Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение Пелля
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 01:06 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 июл 2019, 00:24
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Есть уравнение Пелля [math]x^2 - 991y^2= 1[/math];
1) Нужно его решить. Подскажите, пожалуйста, как. Если я правильно понимаю, мы ищем ответ в целых числах. Математические преобразования из левой в правую сторону я в состоянии провести сама, они не приближают меня к нахождению решений, к сожалению.
2) Среди прочего в интернетах нашла учебник Дирихле (ссылка на учебник). В учебнике к этому уравнению заходят издалека через формы и бесконечные дроби. Я пытаюсь проделать то же, что и Дирихле.
Дирихле рассматривает уравнение [math]t^2 - Du^2 = o^2[/math], где [math]t, u[/math] целые числа, [math]D[/math] - детерминант формы [math](a,b,c)[/math], которой представимо число [math]m=ax^2+2bxy+cy^2[/math], [math]o^2[/math] - НОД [math](a,b,c)[/math].
Исходя из стр. 184 §84, где разобран пример для [math]D=79[/math], нужно разложить корень формы [math](a,b,c)[/math] в бесконечную дробь. Для этого сперва необходимо составить цепочку из приведенной формы и её соседей справа-слева. Дирихле строит цепочку вправо (стр. 166 §78) на примере [math]D=13[/math], начиная с приведенной формы [math](3, 1, -4)[/math].
Изображение

При этом он описывает алгоритм нахождения соседней справа формы так:
"...Чтобы из приведенной формы [math](a,b,a')[/math] прийти к [math](a', b', a'')[/math],
Изображение".

Я взяла его пример и вбила в эксель.
Изображение
[math]A3=C2, B3=[/math]ОСТАТ[math](-B2; ABS(C2)), C3=(B3^2-$G$2)|A3[/math]; формулы (вроде бы) соответствуют тому, что на картинке выше из учебника, √D - это лямбда, она равна максимальному извлекаемому корню детерминанта.
Как вы могли заметить, начиная со строки 4 у экселя начинаются определенные разногласия с Дирихле.
Согласно Дирихле должно было получиться [math](1, 3, -4)[/math], а у меня получилось [math](1, 0, -13)[/math]. Соответственно, я не могу подобраться к периоду приведенных форм без этого шага. Подскажите, пожалуйста, в чём я ошиблась (или ошибся Дирихле)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Пелля
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 10:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1131
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
449 раз в 355 сообщениях
Очков репутации: 143

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, вы решили учться на самое самое ужасное число 991. У него период цепной дроби - 60!!!
Никакой Excel вам не поможет, только системы компютерной алгебры - получатся огромные числа.
Минимальное решение в натуральных числах

[math]x_1 =379516400906811930638014896080[/math]
[math]y_1 =12055735790331359447442538767[/math]

Рекуррентное решение

[math]x_n=759032801813623861276029792160x_{n-1}-x_{n-2}[/math]

Аналогично для [math]y_n[/math]. Оно вам надо?

Учитесь на нормальные задачи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Luchezarnaja
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Пелля
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 18:11 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 июл 2019, 00:24
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое. Я учусь на первом курсе, и у нас замечательный преподаватель, который считает, что лучше один раз прочувствовать, чем сто раз услышать. Так что число 991 не моих рук дело. Если вам нетрудно, не могли бы вы, пожалуйста, объяснить ход решения? До цепных дробей я дошла, в Вольфраме была.
Два вопроса:
1) по существу -- а что делать после получения периода дроби?
2) немного не по существу. Допустим, я хотела бы получить цепную дробь вручную без Вольфрама.
[math]√991=31+\frac{1}{\frac{1}{(√991-31)}}=31+\frac{1}{\frac{√991+31}{991-961}}=31+\frac{1}{\frac{√991+31}{30}}=31+\frac{1}{1+\frac{1+√991}{30}}[/math]

Очевидно, что я в своем решении получаю [math][31; 1,...][/math].
Но в Вольфраме [math][31; 2,...][/math].
Почему?..
upd: я, кажется, поняла -- из [math]√991|30[/math]тоже надо извлечь целую часть, после чего приступать к следующей ступени.

И немного лирики: я ведь и не просила Эксель посчитать корень данного уравнения, я как раз-таки работала в Экселе с очень простыми числами, с коэффициентами приведенных форм. Мне кажется, я делаю то же самое, что и в цепных дробях, потому что Дирихле тоже ищет какой-то период. Но у него формулы вычисления коэффициентов работают, а у меня - нет, и более того, его же формулами я не могу объяснить его вычисления. Если бы я поняла, где ошибка, я могла бы продолжить исследование по методу Дирихле. Но для этого необходимо, чтобы кто-нибудь такой же упорный прочитал и понял этот учебник :lol: .


Последний раз редактировалось Luchezarnaja 03 июл 2019, 18:28, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Пелля
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 18:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 4469
Cпасибо сказано: 378
Спасибо получено:
318 раз в 300 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Luchezarnaja писал(а):
Но для этого необходимо, чтобы кто-нибудь такой же упорный прочитал и понял этот учебник :lol: .


Или, что более вероятно, чтобы Дирихле восстал из мертвых и всё объяснил )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
Luchezarnaja
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Пелля
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 18:26 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 июл 2019, 00:24
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ваше "более вероятно" лишает меня последних надежд))) :o :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Пелля
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 18:32 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 4469
Cпасибо сказано: 378
Спасибо получено:
318 раз в 300 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Менее вероятное может исключить только противоположное достоверное, но не более вероятное. Так что не расстраивайтесь и продолжайте надеяться :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Пелля
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 21:30 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 июл 2019, 00:24
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Немного бесполезной информации.
Я разобралась с уравнением (но не с Дирихле).

Если кому-то вдруг понадобится на будущее, алгоритм решения уравнения Пелле в нынешних реалиях таков:
1) берем число [math]D, D \in N[/math], которое не квадрат, и раскладываем его в цепную дробь с помощью Вольфрама (или ручками через окей, Гугл, как разложить корень в цепную дробь?) командой Continued fraction sqrt(D) (https://www.wolframalpha.com/);
2) считаем количество элементов (k): [math][a_{0}[/math]; a[math]_{1}[/math], ..., a[math]_{k}][/math]; молимся, чтобы k было чётным, если нечётное - дальше можно не читать;
3) записываем, куда удобно (листок/эксель/компилятор/подставить своё);
4) теперь считаем [math]Q_{k-1}[/math] и [math]P_{k-1}[/math] по формулам:
Изображение
(http://stu.sernam.ru/book_algebra.php?id=235,
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов, с. 382)
P и Q это числитель и знаменатель подходящей дроби; минимальная подходящая дробь, являющаяся решением уравнения, всегда идёт под нечётным номером k-1, при этом таких пар чисел бесконечно много, потому что дробь периодичная => любая пара [math]P_{n*k-1}[/math] и [math]Q_{n*k-1}[/math] будет решением уравнения Пелля. Доказательство в пособии отсюда (Бугаенко В. О. Уравнение Пелля, с. 26).

[math]\frac{ x }{ y }[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ P }{ Q }[/math].

Следует иметь в виду, что график этой функции - гипербола, а она симметрична относительно OX.
Изображение

Вероятнее всего, это означает, что возможны любые комбинации корней [math](+ Q, + P)[/math], [math](- Q, - P)[/math], [math](\pm P[/math], [math]\mp Q)[/math].


Shadows писал(а):
[math]x_1 =379516400906811930638014896080[/math]
[math]y_1 =12055735790331359447442538767[/math]

Спасибо большое! У меня получилось! :impossible:
Изображение
Эксель справился, хоть и потерял точность вычислений на 17 строке из 60.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Пелля
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 21:56 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 3604
Cпасибо сказано: 102
Спасибо получено:
1209 раз в 1124 сообщениях
Очков репутации: 175

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Luchezarnaja писал(а):
Эксель справился, хоть и потерял точность вычислений на 17 строке из 60.

Excel предназначен для бухгалтерских расчетов или для статистических вычислений.
Используйте математические пакеты с возможностью символьных вычислений вроде Maple, Mathcad и др. Вольфрам тоже может работать с целыми длинными числами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Luchezarnaja
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Пелля
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 22:37 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 июл 2019, 00:24
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Luchezarnaja писал(а):
Эксель справился, хоть и потерял точность вычислений на 17 строке из 60.

Excel предназначен для бухгалтерских расчетов или для статистических вычислений.
Используйте математические пакеты с возможностью символьных вычислений вроде Maple, Mathcad и др. Вольфрам тоже может работать с целыми длинными числами.

Спасибо. Я понимаю, но пока не довелось работать ни с одним из этих пакетов. Вольфрамом сегодня воспользовалась впервые. Вы не подскажете, вдруг знаете, есть ли в Вольфраме интерфейс типа Экселя, чтобы можно было строить таблицу по формулам? Я ещё не до конца разобралась с ним, пришлось вручную по строчке вбивать примеры. Это здорово упростило бы мои исследования на оставшихся трех курсах бакалавриата :D1 .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Пелля
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 23:22 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 774
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
390 раз в 326 сообщениях
Очков репутации: 77

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вариант реализации алгоритма на точном калькуляторе:
Изображение
Для данного расчета выбрал второе решение.
Потребовалось 35 мс машинного времени старенького ноутбука.
Калькулятор можно скачать здесь: http://preccalc.sourceforge.net/


Код:
/*Решение уравнений Пелля*/
p=991;/*аргумент уравнения Пелля (натуральное число)*/
i=2;/*Номер решения*/
k=sqrt p;
M=0;
R=(0,1);
c=trunc k;
M=(M,c);
if(k-c,if(c-2*M[1],k=1/(k-c),gotor4),gotor2);
gotor-3;
print "Решений нет";
return;
print "Период цепной дроби:",w=width M-2;
print "Цепная дробь:",M[1],M[2,w+1];
foreach(z,reverse M[0,w],R=(R[1],R[0]+z*R[1]);
z=i;
if(w mod 2,z=2*z-1,goto LB0);
print i,"-ое решение уравнения X^2=",p,"*Y^2-1 в целых числах:";
Y=(R[0]+sqrt p*R[1])^z;
print"X=",X=round(Y+(R[0]-sqrt p*R[1])^z)/2;
print"Y=",Y=round((Y-X)/sqrt p);
z++;
LB0:
print i,"-ое решение уравнения X^2=",p,"*Y^2+1 в целых числах:";
Y=(R[0]+sqrt p*R[1])^z;
print"X=",X=round(Y+(R[0]-sqrt p*R[1])^z)/2;
print"Y=",Y=round((Y-X)/sqrt p);

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Luchezarnaja
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение Пелля

в форуме Теория чисел

Ferma

6

824

02 дек 2013, 18:33

Уравнение Пелля. Возникли проблемы с решением уравнения

в форуме Теория чисел

Zlodey4ik

1

972

23 сен 2010, 00:13

Вычисление корней уравнения Пелля

в форуме Дискуссионные математические проблемы

AlexSam

6

414

20 фев 2015, 22:10

Как решить уравнение данное уравнение методом Рунге-Кутта

в форуме Численные методы

Silas

2

694

06 дек 2012, 00:16

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Irina88

0

694

09 июн 2011, 02:49

Написать уравнение параболы и составить уравнение гиперболы

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

+++

4

2463

24 янв 2011, 08:27

Решить уравнение в целых числах (диофантово уравнение)

в форуме Алгебра

juice

3

611

03 апр 2011, 08:26

уравнение плоскости,уравнение прямой,расстояние от точки до

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

psevdofizik

0

766

19 дек 2011, 20:35

Найти уравнение стороны АС, уравнение высоты из вершины В

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Marina Livitchuk

6

1414

14 янв 2011, 15:33

Решить обычное уравнение, и уравнение с параметром

в форуме Алгебра

KuchaTrupoff

9

918

13 ноя 2010, 19:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved