Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Простые числа
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=64320
Страница 1 из 2

Автор:  Galina Alexandrovna [ 14 мар 2019, 20:22 ]
Заголовок сообщения:  Простые числа

В данной работе рассмотрены данные по увеличению количества простых чисел при увеличении общего количества чисел в два раза.
Отношение общего количества чисел. Отношение количества простых чисел...... К
................2000 / 1000............................................303 /168...................................1,80
................4000 / 2000............................................550 /303...................................1,82
................8000 / 4000...........................................1007/550...................................1,83
...............16000/ 8000...........................................1862/1007.................................1,85
...............32000/ 16000.........................................3432/1862.................................1,84
...............64000/ 32000.........................................6413/3432.................................1,87
.............100000/ 50000.........................................9592/5133.................................1,87
.............200000/ 100000.....................................17982/9592.................................1,87
.............400000/ 200000.....................................33859/17982...............................1,88
.............800000/ 400000.....................................63950/ 33859..............................1,89
............1200000/600000.....................................92937/49097...............................1,89
...........1600000/ 800000....................................121126/63950..............................1,89
...........2000000/ 1000000..................................148932/78497..............................1.90
...........4000000/ 2000000..................................283146/148932............................1.90
...........6000000/ 3000000..................................412850/216815............................1.90
...........8000000/ 4000000..................................539778/283146............................1.91
..........10000000/5000000..................................664569/348513............................1.91
В данных интервалах при увеличении общего количества чисел в 2 раза количество простых чисел увеличилось в 1.80-1.91 раза.

Автор:  Avgust [ 14 мар 2019, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простые числа

Дело уверенно идет к 2 :D1
Хорошо бы точно построить график и посмотреть, какая асимптота ожидается.

Автор:  Avgust [ 15 мар 2019, 01:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простые числа

Построил график
https://www.wolframalpha.com/input/?i=8036,8152,8309,8491,8432,8686,8687,8747,8829,8887,8929,8941,8973,9012,9042,9064,9069

Произвел вычисления. Лучшей оказалась аппроксимация [math]y=a-b\cdot e^{-cx^d}[/math]

где a=1.999; b=0.5668 ; c=0.947; d=0.233

Рассчитывал методом Монте Карло. Файл исходных данных

3 1.8309
4 1.8491
7 1.8687
8 1.8747
9 1.8829
10 1.8887
11 1.8929
12 1.8941
13 1.8973
14 1.9012
15 1.9042
16 1.9064
17 1.9069

Текст проги на языке Yabasic:

open #1,"prime.txt","r"
n=13:dim x(20),y(20)
for i=1 to n
input #1 x(i),y(i)
print x(i),y(i)
next i
d0=1:a0=3:b0=1:c0=1
s=10^50
z=.001
for j=1 to 1600000
a=a0*(1+z*(ran()-.5))
b=b0*(1+z*(ran()-.5))
c=c0*(1+z*(ran()-.5))
d=d0*(1+z*(ran()-.5))
s1=0
for i=1 to n
x=x(i)
f=a-b*exp(-c*x^d)
s1=s1+(f-y(i))^2
next i
if s1<=s then print a,b,c,d,s1
s=s1:d0=d:a0=a:b0=b:c0=c
if s1<0.000038 then z=0.0001:fi
fi
next j

Вот концовка результатов счета:

Изображение

Сумма квадратов отклонений очень мала и равна 0.0000375

Действительно, асимптотика очень близка к 2.

Автор:  vorvalm [ 15 мар 2019, 08:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простые числа

Зачем такие сложности.
Надо использовать теорему Чебышева

[math]\lim\frac{\pi(2x)}{\pi(x)}= 2\frac{\ln(x)}{\ln(2x)} = 2[/math]
[math]x\rightarrow\infty[/math]

Автор:  Avgust [ 15 мар 2019, 21:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простые числа

vorvalm, согласитесь - приятно осознавать, что можно быть ничуть не глупее Чебышева :D1

Автор:  vorvalm [ 15 мар 2019, 21:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простые числа

Avgust писал(а):
vorvalm, согласитесь - приятно осознавать, что можно быть ничуть не глупее Чебышева :D1

Не глупее- да, но не умнее.

Автор:  Avgust [ 15 мар 2019, 23:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простые числа

Боже упаси! Я не знаю в наше время математиков уровня Чебышева! Такие рождаются раз в 2019 лет.

Автор:  Galina Alexandrovna [ 16 мар 2019, 14:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простые числа

Я думаю, что можно прийти к выводу: при увеличении общего количества чисел процентное содержание простых чисел сначала постепенно уменьшается пока не достигнет постоянной величины.

Автор:  vorvalm [ 16 мар 2019, 15:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простые числа

Galina Alexandrovna писал(а):
Я думаю, что можно прийти к выводу: при увеличении общего количества чисел процентное содержание простых чисел сначала постепенно уменьшается пока не достигнет постоянной величины.

Если вас это интересует, то посмотрите теорему Чебышева

Автор:  searcher [ 16 мар 2019, 18:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простые числа

Galina Alexandrovna
Посмотрите книгу "Введение в теорию чисел" Галочкина, Нестеренко и Шидловского. Если не задерживаться на доказательствах, то она несложная.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/