Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Jully_s |
|
|
Я сейчас пытаюсь найти общий метод решения Диофантового уравнения такого вида: Aq^2=x^2+y^2+z^2+w^2, где A - натуральный коеффициент; x, y, z, w, q - целые переменные. Так как не особо хочеться изобретать велосипед, подскажите пожалуйста, существует ли уже решение такого уравнения? Нигде не могу найти эту информацию (возможно это решение, если оно существует, как-то связано с теоремой Лагранджа о четырех квадратах). Заранее спасибо) |
||
Вернуться к началу | ||
SUILVA |
|
|
Так и хочется спросить, откуда взяли.
Метод с самым большим количеством дизлайков. Зато популярный. Возможно вы имели в виду этот метод? [math]A = u^2 + v^2 + g^2 + t^2[/math] [math]A q^2 = (u q + a)^2 + (v q + b)^2 + (g q + c)^2 + (t q + d)^2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Individ1 |
|
|
Прежде чем задавать вопрос... задайся вопросом.... А нужен ли тебе будет сам ответ....
Начнём с простого.... с 3-х переменных... Можно подойти к решению двумя способами... зная любое решение записать формулу - как в данном случае сделать [math]q=\pm1[/math] А можно записать формулу в общем виде.... Там представлены два варианта.... https://math.stackexchange.com/question ... 30#1514030 Можно записать формулу и для большего числа переменных.... https://math.stackexchange.com/question ... e-equation Вообще говоря - записать общую формулу решения для любого квадратного диофантового уравнения вообще не проблема.. она просто становиться с каждым разом всё громоздкие.... Так, что возникает встречный вопрос.. А тебе правда это надо? |
||
Вернуться к началу | ||
atlakatl |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
atlakatl |
|
|
Jully_s писал(а): существует ли уже решение такого уравнения? Тяжелее найти такое A, когда решения нет. Возможно, вы ждёте готовую формулу наподобие пифагоровых троек? Это вряд ли. Пробуем: [math]13*q^2=x^2+y^2+z^2+w^2[/math] [math]13=4+4+4+1[/math]. Итого: [math]x,y,z=\frac{ q }{ 2 } , w=q[/math] Например: [math]13*24^2=4*12^2+4*12^2+4*12^2+24^2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
atlakatl писал(а): Возможно, вы ждёте готовую формулу наподобие пифагоровых троек? Это вряд ли. Ну почему же? Конечно можно. Только кому нужно 3-х параметрическое в рациональных (6-параметрическое в целых) решение. Однородное уравнение 2-ой степени от n переменных сводится к уравнению n-1 ой степени в рациональных. Которое, если имеет хотя бы одно решение имеет бесконечно много , общее n-2 параметрическое решение в рациональных. А у кажного рационального параметра числитель и знаменатель....сами понимаете что будет в целых. (хотя можно всех рац. параметров привести под общий знаменатель). И такие уравнения, хоть от 100 переменных, решаются так же, как и из трех. Так что зачем? |
||
Вернуться к началу | ||
SUILVA |
|
|
[math]A = u^2 + v^2 + g^2 + t^2[/math]
[math]A q^2 = (u q + a)^2 + (v q + b)^2 + (g q + c)^2 + (t q + d)^2[/math] [math]a^2 + 2 a q u + b^2 + 2 b q v + c^2 + 2 c g q + d^2 + 2 d q t = 0[/math] [math](2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t) q = -(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)[/math] [math]n = 2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t[/math] [math]m = -(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)[/math] [math]n q = m[/math] [math]A (n q)^2 = (u n q + a n)^2 + (v n q + b n)^2 + (g n q + c n)^2 + (t n q + d n)^2[/math] [math]A (m)^2 = (u m + a n)^2 + (v m + b n)^2 + (g m + c n)^2 + (t m + d n)^2[/math] [math]A (-(a^2 + b^2 + c^2 + d^2))^2 = (u (-(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)) + a (2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t))^2 + (v (-(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)) + b (2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t))^2 +[/math] [math]+ (g (-(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)) + c (2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t))^2 + (t (-(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)) + d (2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t))^2[/math] [math]A (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 = (- a^2 u - b^2 u - c^2 u - d^2 u + 2 a^2 u + 2 a b v + 2 a c g + 2 a d t)^2 + (- a^2 v - b^2 v - c^2 v - d^2 v + 2 a b u + 2 b^2 v + 2 b c g + 2 b d t)^2 +[/math] [math]+ (- a^2 g - b^2 g - c^2 g - d^2 g + 2 a c u + 2 b c v + 2 c^2 g + 2 c d t)^2 + (-a^2 t - b^2 t - c^2 t - d^2 t + 2 a d u + 2 b d v + 2 c d g + 2 d^2 t)^2 - *[/math] [math]A (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 = (- b^2 u - c^2 u - d^2 u + a^2 u + 2 a b v + 2 a c g + 2 a d t)^2 + (- a^2 v - c^2 v - d^2 v + 2 a b u + b^2 v + 2 b c g + 2 b d t)^2 +[/math] [math]+ (- a^2 g - b^2 g - d^2 g + 2 a c u + 2 b c v + c^2 g + 2 c d t)^2 + (-a^2 t - b^2 t - c^2 t + 2 a d u + 2 b d v + 2 c d g + d^2 t)^2[/math] ---------------------------------- [math]A = u^2 + v^2 + g^2 + t^2[/math] [math]A (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 = (b^2 u + c^2 u + d^2 u - a^2 u - 2 a b v - 2 a c g - 2 a d t)^2 + (a^2 v + c^2 v + d^2 v - 2 a b u - b^2 v - 2 b c g - 2 b d t)^2 +[/math] [math]+ (a^2 g + b^2 g + d^2 g - 2 a c u - 2 b c v - c^2 g - 2 c d t)^2 + (a^2 t + b^2 t + c^2 t - 2 a d u - 2 b d v - 2 c d g - d^2 t)^2[/math] ---------------------------------- [math]A = u^2 + v^2 + g^2 + t^2[/math] [math]n = 2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t[/math] [math]m = -(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)[/math] [math]A (m)^2 = (u m + a n)^2 + (v m + b n)^2 + (g m + c n)^2 + (t m + d n)^2[/math] ---------------------------------- Для решения уравнения [math]x^3 + y^3 + z^3 = t^3[/math] часть этого приема применяется три (2 + 1) раза. Для уравнения [math]x^4 + y^4 + z^4 = t^4[/math] семь (4 + 2 + 1) раз. // Приемы для начинающих. |
||
Вернуться к началу | ||
Individ1 |
|
|
Да... уж.... я даже не стал проверять.. жутко как то.....
По мне так проще гораздо.... алгебра конечно легко такие решает.... [math]x^2+y^2+z^2+w^2=Bq^2[/math] Используя знание того, что любое число можно разложить на сумму 4-х квадратов.... [math]a^2+b^2+c^2+d^2=B[/math] И сами решения можно записать так.... [math]x=ap^2+2bps-as^2[/math] [math]y=bp^2-2aps-bs^2[/math] [math]z=cp^2+2dps-cs^2[/math] [math]w=dp^2-2cps-ds^2[/math] [math]q=p^2+s^2[/math] Вроде не надо такие громоздкие вещи писать.... |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
Individ1 писал(а): Вроде не надо такие громоздкие вещи писать.... Ну, если надо написать полное решение, то придется. Ваше решение верное, но неполное. Для полного решения нужны еще 2 параметра (кроме p,s) и тогда будет (в каком то смысле) полным. Ваши решения - частный случай, когда другие 2 параметра равны нулю. На самом деле будет[math]q=p^2+s^2+q^2+r^2[/math] И эти параметры будут присутствовать и в других формул - жесть получится. Еще раз - можно, но зачем? Напишу для x [math]x=a (p^2 + q^2 + r^2 - s^2) + 2 s (b p + c q + d r)[/math] остальные аналогично. И еще надо поделить на НОД, чтобы решения получились в совкупности взаимнопростые. |
||
Вернуться к началу | ||
Individ1 |
|
|
Кстати на тему громоздких решений.....
Значит берём уравнение..... [math]X^2+Y^2+Z^2+W^2=BQ^2[/math] И используем то, что можно разложить на 4 квадрата..... [math]a^2+b^2+c^2+d^2=B[/math] Теперь если используем сиё тождество.. [math]X=ax+by[/math] [math]Y=bx-ay[/math] [math]Z=ck+dt[/math] [math]W=dk-ct[/math] [math](a^2+b^2)(x^2+y^2)+(c^2+d^2)(k^2+t^2)=BQ^2[/math] Придём к тому, что надо решить такую системку..... [math]x^2+y^2=k^2+t^2=W^2[/math] вот она и пригодилась..... https://artofproblemsolving.com/communi ... uations_16 https://artofproblemsolving.com/communi ... 050851__11 Кстати..... один не достающий параметр может быть внесён просто...... [math]a^2+b^2+c^2+d^2=Bq^2[/math] Оооо!! Какой я умный..... |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Диофантово уравнение с тремя неизвестными
в форуме Теория чисел |
5 |
467 |
11 июн 2018, 18:23 |
|
Диофантово уравнение 2-й степени
в форуме Теория чисел |
7 |
1038 |
12 янв 2017, 12:15 |
|
Диофантово уравнение с иксом в степени
в форуме Теория чисел |
30 |
822 |
15 авг 2019, 17:39 |
|
Диофантово уравнение второй степени
в форуме Теория чисел |
4 |
1080 |
02 июн 2018, 09:49 |
|
Система уравнений с двумя неизвестными в степени
в форуме Алгебра |
2 |
265 |
20 май 2019, 01:45 |
|
Система 3х уравнений первой степени с тремя неизвестными
в форуме Алгебра |
3 |
602 |
16 сен 2015, 15:09 |
|
Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
в форуме Алгебра |
24 |
1210 |
30 мар 2016, 23:38 |
|
Диофантово уравнение
в форуме Алгебра |
2 |
166 |
07 июн 2023, 14:41 |
|
Уравнение диофантово
в форуме Теория чисел |
23 |
823 |
17 июн 2021, 11:02 |
|
Диофантово уравнение | 584 |
12748 |
12 дек 2015, 00:03 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |