Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными
СообщениеДобавлено: 15 фев 2019, 12:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 фев 2019, 12:31
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!
Я сейчас пытаюсь найти общий метод решения Диофантового уравнения такого вида: Aq^2=x^2+y^2+z^2+w^2, где A - натуральный коеффициент; x, y, z, w, q - целые переменные.

Так как не особо хочеться изобретать велосипед, подскажите пожалуйста, существует ли уже решение такого уравнения? Нигде не могу найти эту информацию (возможно это решение, если оно существует, как-то связано с теоремой Лагранджа о четырех квадратах).

Заранее спасибо)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными
СообщениеДобавлено: 16 фев 2019, 08:17 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 дек 2015, 19:24
Сообщений: 166
Cпасибо сказано: 20
Спасибо получено:
28 раз в 28 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так и хочется спросить, откуда взяли.

Метод с самым большим количеством дизлайков. Зато популярный.
Возможно вы имели в виду этот метод?
[math]A = u^2 + v^2 + g^2 + t^2[/math]
[math]A q^2 = (u q + a)^2 + (v q + b)^2 + (g q + c)^2 + (t q + d)^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными
СообщениеДобавлено: 16 фев 2019, 08:56 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
27 апр 2018, 20:01
Сообщений: 220
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
16 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прежде чем задавать вопрос... задайся вопросом.... А нужен ли тебе будет сам ответ....

Начнём с простого.... с 3-х переменных...
Можно подойти к решению двумя способами... зная любое решение записать формулу - как в данном случае сделать [math]q=\pm1[/math]

А можно записать формулу в общем виде....
Там представлены два варианта....

https://math.stackexchange.com/question ... 30#1514030

Можно записать формулу и для большего числа переменных....

https://math.stackexchange.com/question ... e-equation

Вообще говоря - записать общую формулу решения для любого квадратного диофантового уравнения вообще не проблема.. она просто становиться с каждым разом всё громоздкие....

Так, что возникает встречный вопрос.. А тебе правда это надо?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными
СообщениеДобавлено: 16 фев 2019, 19:37 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
.


Последний раз редактировалось atlakatl 16 фев 2019, 19:43, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными
СообщениеДобавлено: 16 фев 2019, 19:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jully_s писал(а):
существует ли уже решение такого уравнения?

Тяжелее найти такое A, когда решения нет. Возможно, вы ждёте готовую формулу наподобие пифагоровых троек? Это вряд ли.
Пробуем:
[math]13*q^2=x^2+y^2+z^2+w^2[/math]
[math]13=4+4+4+1[/math]. Итого: [math]x,y,z=\frac{ q }{ 2 } , w=q[/math]
Например: [math]13*24^2=4*12^2+4*12^2+4*12^2+24^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными
СообщениеДобавлено: 16 фев 2019, 19:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
atlakatl писал(а):
Возможно, вы ждёте готовую формулу наподобие пифагоровых троек? Это вряд ли.

Ну почему же? Конечно можно. Только кому нужно 3-х параметрическое в рациональных (6-параметрическое в целых) решение. Однородное уравнение 2-ой степени от n переменных сводится к уравнению n-1 ой степени в рациональных. Которое, если имеет хотя бы одно решение имеет бесконечно много , общее n-2 параметрическое решение в рациональных. А у кажного рационального параметра числитель и знаменатель....сами понимаете что будет в целых. (хотя можно всех рац. параметров привести под общий знаменатель).

И такие уравнения, хоть от 100 переменных, решаются так же, как и из трех. Так что зачем?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными
СообщениеДобавлено: 17 фев 2019, 10:41 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 дек 2015, 19:24
Сообщений: 166
Cпасибо сказано: 20
Спасибо получено:
28 раз в 28 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]A = u^2 + v^2 + g^2 + t^2[/math]
[math]A q^2 = (u q + a)^2 + (v q + b)^2 + (g q + c)^2 + (t q + d)^2[/math]
[math]a^2 + 2 a q u + b^2 + 2 b q v + c^2 + 2 c g q + d^2 + 2 d q t = 0[/math]
[math](2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t) q = -(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)[/math]
[math]n = 2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t[/math]
[math]m = -(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)[/math]
[math]n q = m[/math]
[math]A (n q)^2 = (u n q + a n)^2 + (v n q + b n)^2 + (g n q + c n)^2 + (t n q + d n)^2[/math]
[math]A (m)^2 = (u m + a n)^2 + (v m + b n)^2 + (g m + c n)^2 + (t m + d n)^2[/math]
[math]A (-(a^2 + b^2 + c^2 + d^2))^2 = (u (-(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)) + a (2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t))^2 + (v (-(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)) + b (2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t))^2 +[/math]
[math]+ (g (-(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)) + c (2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t))^2 + (t (-(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)) + d (2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t))^2[/math]
[math]A (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 = (- a^2 u - b^2 u - c^2 u - d^2 u + 2 a^2 u + 2 a b v + 2 a c g + 2 a d t)^2 + (- a^2 v - b^2 v - c^2 v - d^2 v + 2 a b u + 2 b^2 v + 2 b c g + 2 b d t)^2 +[/math]
[math]+ (- a^2 g - b^2 g - c^2 g - d^2 g + 2 a c u + 2 b c v + 2 c^2 g + 2 c d t)^2 + (-a^2 t - b^2 t - c^2 t - d^2 t + 2 a d u + 2 b d v + 2 c d g + 2 d^2 t)^2 - *[/math]
[math]A (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 = (- b^2 u - c^2 u - d^2 u + a^2 u + 2 a b v + 2 a c g + 2 a d t)^2 + (- a^2 v - c^2 v - d^2 v + 2 a b u + b^2 v + 2 b c g + 2 b d t)^2 +[/math]
[math]+ (- a^2 g - b^2 g - d^2 g + 2 a c u + 2 b c v + c^2 g + 2 c d t)^2 + (-a^2 t - b^2 t - c^2 t + 2 a d u + 2 b d v + 2 c d g + d^2 t)^2[/math]
----------------------------------
[math]A = u^2 + v^2 + g^2 + t^2[/math]
[math]A (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 = (b^2 u + c^2 u + d^2 u - a^2 u - 2 a b v - 2 a c g - 2 a d t)^2 + (a^2 v + c^2 v + d^2 v - 2 a b u - b^2 v - 2 b c g - 2 b d t)^2 +[/math]
[math]+ (a^2 g + b^2 g + d^2 g - 2 a c u - 2 b c v - c^2 g - 2 c d t)^2 + (a^2 t + b^2 t + c^2 t - 2 a d u - 2 b d v - 2 c d g - d^2 t)^2[/math]
----------------------------------
[math]A = u^2 + v^2 + g^2 + t^2[/math]
[math]n = 2 a u + 2 b v + 2 c g + 2 d t[/math]
[math]m = -(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)[/math]
[math]A (m)^2 = (u m + a n)^2 + (v m + b n)^2 + (g m + c n)^2 + (t m + d n)^2[/math]
----------------------------------
Для решения уравнения
[math]x^3 + y^3 + z^3 = t^3[/math]
часть этого приема применяется три (2 + 1) раза.

Для уравнения
[math]x^4 + y^4 + z^4 = t^4[/math]
семь (4 + 2 + 1) раз.
// Приемы для начинающих.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными
СообщениеДобавлено: 17 фев 2019, 12:52 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
27 апр 2018, 20:01
Сообщений: 220
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
16 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да... уж.... я даже не стал проверять.. жутко как то.....

По мне так проще гораздо.... алгебра конечно легко такие решает....

[math]x^2+y^2+z^2+w^2=Bq^2[/math]

Используя знание того, что любое число можно разложить на сумму 4-х квадратов....

[math]a^2+b^2+c^2+d^2=B[/math]

И сами решения можно записать так....

[math]x=ap^2+2bps-as^2[/math]

[math]y=bp^2-2aps-bs^2[/math]

[math]z=cp^2+2dps-cs^2[/math]

[math]w=dp^2-2cps-ds^2[/math]

[math]q=p^2+s^2[/math]

Вроде не надо такие громоздкие вещи писать....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными
СообщениеДобавлено: 17 фев 2019, 17:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Individ1 писал(а):
Вроде не надо такие громоздкие вещи писать....
Ну, если надо написать полное решение, то придется. Ваше решение верное, но неполное. Для полного решения нужны еще 2 параметра (кроме p,s) и тогда будет (в каком то смысле) полным. Ваши решения - частный случай, когда другие 2 параметра равны нулю. На самом деле будет

[math]q=p^2+s^2+q^2+r^2[/math]

И эти параметры будут присутствовать и в других формул - жесть получится.
Еще раз - можно, но зачем? Напишу для x

[math]x=a (p^2 + q^2 + r^2 - s^2) + 2 s (b p + c q + d r)[/math]

остальные аналогично. И еще надо поделить на НОД, чтобы решения получились в совкупности взаимнопростые.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными
СообщениеДобавлено: 18 фев 2019, 08:55 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
27 апр 2018, 20:01
Сообщений: 220
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
16 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кстати на тему громоздких решений.....
Значит берём уравнение.....

[math]X^2+Y^2+Z^2+W^2=BQ^2[/math]

И используем то, что можно разложить на 4 квадрата.....

[math]a^2+b^2+c^2+d^2=B[/math]

Теперь если используем сиё тождество..

[math]X=ax+by[/math]

[math]Y=bx-ay[/math]

[math]Z=ck+dt[/math]

[math]W=dk-ct[/math]

[math](a^2+b^2)(x^2+y^2)+(c^2+d^2)(k^2+t^2)=BQ^2[/math]

Придём к тому, что надо решить такую системку.....

[math]x^2+y^2=k^2+t^2=W^2[/math]

вот она и пригодилась.....

https://artofproblemsolving.com/communi ... uations_16

https://artofproblemsolving.com/communi ... 050851__11

Кстати..... один не достающий параметр может быть внесён просто......

[math]a^2+b^2+c^2+d^2=Bq^2[/math]


Оооо!! Какой я умный.....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Диофантово уравнение с тремя неизвестными

в форуме Теория чисел

Claudia

5

467

11 июн 2018, 18:23

Диофантово уравнение 2-й степени

в форуме Теория чисел

Gagarin

7

1038

12 янв 2017, 12:15

Диофантово уравнение с иксом в степени

в форуме Теория чисел

math_user

30

822

15 авг 2019, 17:39

Диофантово уравнение второй степени

в форуме Теория чисел

searcher

4

1080

02 июн 2018, 09:49

Система уравнений с двумя неизвестными в степени

в форуме Алгебра

Tahmil

2

265

20 май 2019, 01:45

Система 3х уравнений первой степени с тремя неизвестными

в форуме Алгебра

kucher

3

602

16 сен 2015, 15:09

Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

Andy

24

1210

30 мар 2016, 23:38

Диофантово уравнение

в форуме Алгебра

McMurphy

2

166

07 июн 2023, 14:41

Уравнение диофантово

в форуме Теория чисел

3axap

23

823

17 июн 2021, 11:02

Диофантово уравнение

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Nataly-Mak

584

12748

12 дек 2015, 00:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved