Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Гармонические числа
СообщениеДобавлено: 11 дек 2018, 21:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 июл 2017, 15:17
Сообщений: 92
Cпасибо сказано: 15
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В одной книжке наткнулся на такую задачу, там надо было доказать что разность двух различных гармонических чисел не может быть целым числом.
Сначала пытался решить в лоб, но смог решить лишь для частных случаев, еще пытался через разные оценки сверху и снизу, Но тоже ни к чесу не пришел
Помогите решить

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гармонические числа
СообщениеДобавлено: 12 дек 2018, 11:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac 1 k+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{k+n}=\frac a b[/math]

Докажите, a всегда нечетное, а b-четное, если [math]n>0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
bimol, Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Гармонические числа
СообщениеДобавлено: 17 дек 2018, 23:28 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 июл 2017, 15:17
Сообщений: 92
Cпасибо сказано: 15
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так "a" будет нечетным после деления на их НОД(a.b), т.е нужно показать что в числителе двойка стоит в меньшей степени, чем в знаменателе, но не в этом ли сложность задания?
У меня в начале была мысль, связанная с четностью: (до сокращения) знаменатель имеет вид (k+n)!/(k-1)!, а каждое слагаемое числителя это значение знаменателя деленое на соответствующее число (n+i), тогда выберем (n+i) в которое 2 входит с максимальной степенью, тогда соответствующее слагаемое числителя (возможно) будет иметь минимальную степень вхождения 2, и тогда после сокращения это число будет нечетным, но может оказаться и так что другое тоже будет нечетным(т.к может оказаться что среди k, k+1, ... n у нескольких одинаковая четность) и все это, как по мне, ни к чему не приводит

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гармонические числа
СообщениеДобавлено: 18 дек 2018, 10:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
DanyaRRRR писал(а):
тогда выберем (n+i) в которое 2 входит с максимальной степенью, тогда соответствующее слагаемое числителя (возможно) будет иметь минимальную степень вхождения 2
Нинимальней некуда - оно будет нечетное. И не возможно, а точно! Все остальные с ним сравниваются (что касается степени двойки, конечно).
DanyaRRRR писал(а):
что среди k, k+1, ... n у нескольких одинаковая четность
но наибольшая степень двойку будет только у одного числа.Поверьте (а лучше докажите)
Так что при привидении к общему знаменателю, все числители, кроме один, будут четными, а один - нечетный. А сумма нескольких четных и одного нечетного числа сами понимаете.

Да, и не работайте с факториалами - они только запутают вас. Надеюсь, знаете как определяется НОК нескольких чисел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
DanyaRRRR
 Заголовок сообщения: Re: Гармонические числа
СообщениеДобавлено: 20 янв 2019, 23:14 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 июл 2017, 15:17
Сообщений: 92
Cпасибо сказано: 15
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, понял.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Гармонические числа

в форуме Теория чисел

limao

2

295

29 май 2021, 10:30

Гармонические функции

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

VMD

0

173

12 июл 2021, 15:31

Найти гармонические функции

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Snofr

1

523

10 мар 2018, 09:32

Уравнение мат.физики: гармонические колебания

в форуме Специальные разделы

alexandrovich

9

843

19 май 2015, 19:29

Разложение на гармонические функции в декартовых координатах

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

gumanist

0

339

24 янв 2021, 19:09

Гармонические колебания - Найти уравнение траектории

в форуме Механика

IgorV

4

489

20 ноя 2021, 20:34

Под действием какой силы происходят гармонические колебания?

в форуме Механика

sfanter

2

926

14 фев 2016, 21:09

Гармонические колебания (9 класс), пара простейших задач

в форуме Школьная физика

Coil

5

1566

25 янв 2016, 16:41

Разбиение числа на сумму произвольного числа квадратов

в форуме Теория чисел

chimikus

1

567

02 янв 2018, 16:59

Комплексные числа, найти корни к-го числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

bellkross

4

526

04 окт 2016, 16:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved