Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Функция Эйлера. Доказать свойство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=63013
Страница 1 из 1

Автор:  nurakhmetov [ 06 дек 2018, 18:40 ]
Заголовок сообщения:  Функция Эйлера. Доказать свойство

Доказать,что для любого натурального числа n > 1
[math]\varphi[/math](n) = n(1 [math]- \frac{ 1 }{ p_{1} }[/math])(1 [math]- \frac{ 1 }{ p_{2} }[/math]) [math]\ldots[/math](1 [math]- \frac{ 1 }{ p_{r} }[/math]) ,
где p[math]_{1}[/math],p[math]_{2}[/math], [math]\ldots[/math],p[math]_{r}[/math] - все различные простые делители числа n.
[math]\varphi[/math](n) - функция Эйлера

Автор:  Ghost15791381041 [ 07 янв 2019, 17:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функция Эйлера. Доказать свойство

Пусть:
[math]\boldsymbol{n}[/math] [math]=[/math][math]\boldsymbol{p}_{1}^{ \alpha {1} }[/math] [math]\times[/math] [math]\boldsymbol{p}_{2}^{ \alpha {2} }[/math] [math]\times[/math] [math]\ldots[/math] [math]\times[/math] [math]\boldsymbol{p}_{k}^{ \alpha {k} }[/math],
тогда, используя свойство мультипликативности функции Эйлера, получим следующее:
[math]\varphi[/math] [math]\left( \boldsymbol{n} \right)[/math] [math]=[/math] [math]\varphi[/math] [math]\left(\boldsymbol{p}_{1}^{ \alpha {1} } \right)[/math] [math]\times[/math] [math]\varphi[/math] [math]\left(\boldsymbol{p}_{2}^{ \alpha {2} } \right)[/math] [math]\times[/math] [math]\ldots[/math] [math]\times[/math] [math]\varphi[/math] [math]\left(\boldsymbol{p}_{k}^{ \alpha {k} } \right)[/math] [math]=[/math] [math]\left( \boldsymbol{p}_{1}^{ \alpha {1} } - \boldsymbol{p}_{1}^{ \alpha {1} - 1 } \right)[/math] [math]\times[/math] [math]\left( \boldsymbol{p}_{2}^{ \alpha {2} } - \boldsymbol{p}_{2}^{ \alpha {2} - 1 } \right)[/math] [math]\times[/math] [math]\ldots[/math] [math]\times[/math] [math]\left( \boldsymbol{p}_{k}^{ \alpha {k} } - \boldsymbol{p}_{k}^{ \alpha {k} - 1 } \right)[/math] [math]=[/math] [math]\boldsymbol{p}_{1}^{ \alpha {1} }[/math] [math]\times[/math] [math]\left( 1 - \frac{ 1 }{ p_1 } \right)[/math] [math]\times[/math] [math]\boldsymbol{p}_{2}^{ \alpha {2} }[/math] [math]\times[/math] [math]\left( 1 - \frac{ 1 }{ p_2 } \right)[/math] [math]\times[/math] [math]\ldots[/math] [math]\times[/math] [math]\boldsymbol{p}_{k}^{ \alpha {k} }[/math] [math]\times[/math] [math]\left( 1 - \frac{ 1 }{ p_k } \right)[/math] [math]=[/math] [math]\boldsymbol{p}_{1}^{ \alpha {1} }[/math] [math]\times[/math] [math]\boldsymbol{p}_{2}^{ \alpha {2} }[/math] [math]\times[/math] [math]\ldots[/math] [math]\times[/math] [math]\boldsymbol{p}_{k}^{ \alpha {k} }[/math] [math]\times[/math] [math]\left( 1 - \frac{ 1 }{ p_1 } \right) \times[/math] [math]\left( 1 - \frac{ 1 }{ p_2 } \right) \times[/math] [math]\ldots[/math] [math]\times[/math] [math]\left( 1 - \frac{ 1 }{ p_k } \right) =[/math] [math]\boldsymbol{n}[/math] [math]\times[/math] [math]\left( 1 - \frac{ 1 }{ p_1 } \right) \times[/math] [math]\left( 1 - \frac{ 1 }{ p_2 } \right) \times[/math] [math]\ldots[/math] [math]\times[/math] [math]\left( 1 - \frac{ 1 }{ p_k } \right)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/