Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на пифагоровы тройки
СообщениеДобавлено: 22 авг 2018, 05:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
3axap писал(а):
три пифагоровы тройки, которые будут удовлетворять этому уравнению, либо доказать, что таких троек не существует. mm - гипотенуза в соответствующей тройке, nn - любой из катетов в соответствующей тройке.

В примитивной тройке один из катетов чётны, остальные гипотенуза и катет нечётные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на пифагоровы тройки
СообщениеДобавлено: 22 авг 2018, 08:46 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А просто квадратов можно накидать сколько угодно:
[math](m1, m2, m3, n1, n2, n3)[/math]

[math]3, 3, 3, 2, 2, 1[/math]
[math]3, 3, 6, 2, 2, 2[/math]
[math]3, 3, 6, 1, 2, 4[/math]
[math]2058981376, 1762656256, 2135179264, 2140542756, 1766689024, 1827648001[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на пифагоровы тройки
СообщениеДобавлено: 22 авг 2018, 09:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Никакие противоречия ни по какому модулю нет и быть не может. Если поделить на [math]m_1^2m_2^2m_3^3[/math] получится

[math]\left(\frac{n_1}{m_1}\right)^2+\left(\frac{n_2}{m_2}\right)^2+\left(\frac{n_3}{m_3}\right)^2=1[/math]

Т.е, пифагоровые тройки могут быть примитивные, ровно два из катетов - четные (и даже делящиеся на 4), ровно два - делящиеся на 3. Решения есть, если один из катетов равен нулю, так что противоречие по модулю не найдется.

[math]\left(\frac{2a}{a^2+1}\right)^2+\left(\frac{2b}{b^2+1}\right)^2+\left(\frac{c^2-1}{c^2+1}\right)^2=1[/math]

последнее слагаемое в правую сторону, делим на 4

[math]\left(\frac{a}{a^2+1}\right)^2+\left(\frac{b}{b^2+1}\right)^2=\left(\frac{c}{c^2+1}\right)^2[/math]

Иными словами, из всех катетов рац. прямуг. тр-ков с гипитенузой 1 выбрать три, которые сами бы образовали рац. прямоуг. тр-к. Есть решения [math]c=1,b=\frac{a+1}{a-1}[/math], но один тр-к вырожденный.Будет решение, где [math]a,b,c \ne 0,\pm 1[/math] будет счастье.

Условия очень жесткие, эллиптические кривые - это семечки, у меня на кривой 8-го порядка приходится искать рациональные точки и не буду.

Цитата:
А просто квадратов можно накидать сколько угодно


Уравнение [math]x^2+y^2+z^2=1[/math] благо второго порядка, хорошо параметризуется и можно выписать все решения (с параметрами естествено), но это не интересно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
3axap, Andy
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на пифагоровы тройки
СообщениеДобавлено: 22 авг 2018, 19:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
atlakatl писал(а):
3axap
3axap писал(а):
три пифагоровы тройки, которые будут удовлетворять этому уравнению, либо доказать, что таких троек не существует. m - гипотенуза в соответствующей тройке, n - любой из катетов в соответствующей тройке.

В примитивной тройке один из катетов чётны, остальные гипотенуза и катет нечётные.

Любой из катетов - это имелось в виду один случай любого из двух, а не для обоих случаев каждого из двух катетов. Например, тройка 3,4,5. Можно выбрать любой из двух вариантов: 3 и 5, либо: 4 и 5.

shadows
Ни один вырожденный треугольник брать нельзя, должны быть все три полноценных треугольника. Хотя бы одно решение в натуральных числах, либо установить, что решений нет.

В названии темы я предупредил, что это сложная задача.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на пифагоровы тройки
СообщениеДобавлено: 22 авг 2018, 20:09 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
Действительно, задача сложная. По тому, что сообщил уважаемый shadows, понятно, что для её решения нужно обладать хорошими знаниями, как минимум, в теории чисел.

Задаваясь вопросом, есть ли соответствующие условию задачи прямоугольные треугольники, у которых квадрат отношения длины гипотенузы к длине одного из катетов выражается квадратом натурального числа, можно придти к выводу, что таких треугольников нет, потому что решениями уравнения
[math]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/math]

в натуральных числах являются, если я не ошибаюсь, только следующие наборы: [math]\left\{ 2,~3,~6 \right\},~\left\{ 2,~4,~4 \right\},~\left\{ 3,~3,~3 \right\}.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на пифагоровы тройки
СообщениеДобавлено: 22 авг 2018, 20:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
В названии темы я предупредил, что это сложная задача.

Задача устная для 6-го класса средней школы.
Указание я написал, а думать вы не хотите или не умеете.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на пифагоровы тройки
СообщениеДобавлено: 22 авг 2018, 20:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS
В Вашей подсказке [math]m_{i}^2=n_{i}^2+k_{i}^2[/math] вы рассматриваете ещё один катет для каждой тройки [math]k_{i}[/math]. Позвольте, но куда он тогда делся в Вашем уравнении [math]m_{i}^2=3n_{i}^2[/math]? При подстановке он же никуда не девается...
Понятно, что зная один катет и гипотенузу в каждой тройке, можно найти и другой катет, то есть, найти каждую из трёх тройку полностью.

Andy
А почему "квадрат отношения длины гипотенузы к длине одного из катетов выражается квадратом натурального числа" ? Разве не квадратом рационального числа?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на пифагоровы тройки
СообщениеДобавлено: 22 авг 2018, 21:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
FEBUS
В Вашей подсказке [math]m_{i}^2=n_{i}^2+k_{i}^2[/math] вы рассматриваете ещё один катет для каждой тройки [math]k_{i}[/math]. Позвольте, но куда он тогда делся в Вашем уравнении [math]m_{i}^2=3n_{i}^2[/math]? При подстановке он же никуда не девается...
Понятно, что (,) зная один катет и гипотенузу в каждой тройке, можно найти и другой катет, то есть, найти каждую из трёх тройку полностью.

Да никуда он не девается. Вон он - в скобочках
[math]m_{i}^2=3n_{i}^2 = (\sqrt{2}n_{i})^2 +n_{i}^2[/math]

Ну, не хотите думать .... Или не умеете ...
По моей подсказке вы пытались хоть что-то сделать?


Последний раз редактировалось FEBUS 22 авг 2018, 21:26, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на пифагоровы тройки
СообщениеДобавлено: 22 авг 2018, 21:08 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
Я всего лишь пытался показать, что такой квадрат не является квадратом натурального числа. Из множества положительных рациональных дробей, бОльших единицы, целые числа нужно исключить. Возможно, это понятно и без моей попытки.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на пифагоровы тройки
СообщениеДобавлено: 22 авг 2018, 21:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS
[math]n^{2}_{1}m^{2}_{2}m^{2}_{3}+n^{2}_{2}m^{2}_{1}m^{2}_{3}+n^{2}_{3}m^{2}_{1}m^{2}_{2}=m^{2}_{1}m^{2}_{2}m^{2}_{3}[/math], где: [math]m_{i}^2=n_{i}^2+k_{i}^2[/math]

[math]k_{2}^2k_{3}^2n_{1}^2+k_{1}^2k_{3}^2n_{2}^2+k_{1}^2k_{2}^2n_{3}^2+2k_{3}^2n_{2}^2n_{1}^2+2k_{2}^2n_{3}^2n_{1}^2+2k_{1}^2n_{2}^2n_{3}^2+3n_{1}^2n_{2}^2n_{3}^2=m^{2}_{1}m^{2}_{2}m^{2}_{3}[/math]

Что дальше?

[math]k_{2}^2k_{3}^2n_{1}^2+k_{1}^2k_{3}^2n_{2}^2+k_{1}^2k_{2}^2n_{3}^2+2k_{3}^2n_{2}^2n_{1}^2+2k_{2}^2n_{3}^2n_{1}^2+2k_{1}^2n_{2}^2n_{3}^2 \ne 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.  Страница 2 из 4 [ Сообщений: 32 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Все пифагоровы тройки сходятся в 6n

в форуме Палата №6

ivashenko

10

807

18 май 2021, 01:13

Почему существуют пифагоровы тройки?

в форуме Палата №6

ivashenko

21

1016

18 ноя 2019, 21:59

Пифагоровы тройки: как найти все решения

в форуме Теория чисел

Fireman

4

1230

23 фев 2018, 12:02

Сложная задача

в форуме Алгебра

Alexsander

1

498

21 фев 2016, 15:11

Сложная задача

в форуме Алгебра

lemur

3

182

25 ноя 2021, 14:43

Сложная задача

в форуме Геометрия

Pazuiorstv

1

557

15 май 2014, 21:53

Сложная задача

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

olegog

10

906

14 июл 2015, 12:54

Сложная задача

в форуме Теория вероятностей

galachel

7

1363

19 дек 2015, 20:41

Сложная задача на делимость

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Helios

8

894

05 окт 2016, 19:18

Сложная задача по комбинаторике

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Helios

5

615

02 окт 2016, 23:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved