Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Диофантово уравнение второй степени
СообщениеДобавлено: 02 июн 2018, 09:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Будучи полным лохом в теории чисел, решил освоить самые азы. Читаю статью в журнале Квант http://kvant.mccme.ru/1978/01/metod_beskonechnogo_spuska.htm . Упражнение 5б. Предлагают решить в натуральных числах уравнение [math]3x^2-7y^2+1=0[/math]. У меня никаких мыслей. Посмотрел подсказку в конце журнала: предлагают воспользоваться тождеством [math]3(55x+84y)^2-7(36x+55y)^2=3x^2-7y^2[/math]. Я сразу понял. что теория чисел - это наука для особо одарённых. До такого тождества я бы не догадался. Ну хорошо, есть тождество, и что с ним делать дальше? Опять у меня никаких мыслей.
P.S. В момент как написанное послал на форум, пришла в голову идея. У уравнения есть тривиальное решение [math]x=3[/math], [math]y=2[/math] . Далее получается бесконечная серия решений. Но будут ли это все решения? И как додуматься до такого тождества?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение второй степени
СообщениеДобавлено: 02 июн 2018, 10:11 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это уравнене Пеля (почти), додумываются не сложно ищут замену [math](x, y) -> (ax+by, cx+dz)[/math], которая приведет к тождеству
Хотя, наверное есть еще способа

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
searcher
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение второй степени
СообщениеДобавлено: 02 июн 2018, 10:21 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прийти ко всем решениям можно исходя из того, что если (x, y) достаточно большое решение, то (55x-84y, 55y-36x) меньшее решение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение второй степени
СообщениеДобавлено: 02 июн 2018, 10:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon, спасибо! Понял, почему я затупил. Надо было статью до конца прочесть. Там есть задача 3 в тему. И задачи решать подряд. А то в предыдущих решённых задачах я доказывал отсутствие решений бесконечным спуском. А тут наоборот, надо построить серию решений. (Думал, что бесконечный спуск - это про доказательство несуществования решений.)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение второй степени
СообщениеДобавлено: 03 июн 2018, 09:19 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
27 апр 2018, 20:01
Сообщений: 220
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
16 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще говоря в диофантовых уравнениях очень много забавного....
Очень много различных решений и тождеств. Решая их можно прийти вообще к решению других задач...

Иногда всё выглядит очень громоздко. Есть формулы которые занимают десятки страниц... только ответ.
Иногда они позволяют записать решения таких уравнений, что по логике сделать это нельзя...

Что же касаемо вот таких уравнений Пелля... то и там довольно много тождеств.

Например можно не особо заморачиваться и записать формулу для всех уравнений....

Например у нас есть такое уравнение....

[math]Ap^2-Bs^2=1[/math]

Для поиска решений надо знать какое нибудь решение этого уравнения. [math](p ; s)[/math]

Теперь надо воспользоваться любым решением уравнения такого Пелля.

[math]x^2-ABy^2=1[/math]

И всё. Теперь зная предыдущие решения - как одного так и другого уравнения. Ищем их следующие решения.

[math]p_2=xp+Bys[/math]

[math]s_2=xs+Ayp[/math]

То есть фактически пришли к стандартному уравнению Пелля.
Очень многие задачи к такому приводят...
Даже решение диофантова уравнения Лежандра приводит к выяснению разрешимости некоторого уравнения Пелля.

Формулы получаются громоздкими, но форма решений от нас не зависит. Природа так устроена.

P.S. - формулы никому эти не показывайте. Их не существуют! Ещё чего доброго ругать будут за это.....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Диофантово уравнение 2-й степени

в форуме Теория чисел

Gagarin

7

1038

12 янв 2017, 12:15

Диофантово уравнение с иксом в степени

в форуме Теория чисел

math_user

30

822

15 авг 2019, 17:39

Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными

в форуме Теория чисел

Jully_s

9

880

15 фев 2019, 12:41

Параметрическое неравенство второй степени с модулем

в форуме Алгебра

albatroskuku

16

293

28 ноя 2023, 01:25

Уравнения c показателями второй и третьей степени

в форуме Палата №6

Ferma

0

513

22 сен 2017, 16:41

Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

Andy

24

1210

30 мар 2016, 23:38

Полином Тейлора второй степени для функций многих переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Mephisto

6

321

07 июн 2022, 21:43

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

bravo

10

2814

17 июл 2014, 22:39

Диофантово уравнение

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

5

127

10 ноя 2023, 22:39

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

EvgeniyD

4

392

25 фев 2020, 11:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved