Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравненние 3-й степени в целых числах
СообщениеДобавлено: 16 май 2018, 17:35 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 11:00
Сообщений: 250
Cпасибо сказано: 98
Спасибо получено:
34 раз в 28 сообщениях
Очков репутации: -124

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Вызвало затруднения у меня такое уравнение:
[math](x+5)^3=(x+4)^3+(x+3)^3+(x+2)^3+(x+1)^3[/math]
Надо найти решения в целых числах.
Как вообще решаются уравнения такого типа?
Единственное, на что меня хватило, это раскрыть скобки и привести подобные члены. Но ничего полезного это не дело. Подбором тоже ничего не получилось.
Может кто-нибудь подкинуть плодотворную идею? Заранее благодарю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравненние 3-й степени в целых числах
СообщениеДобавлено: 16 май 2018, 17:57 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
что-то мне подсказывает, что Вы ошиблись в формулировке этого задания, но если что, то это можно решить так:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2B5)%5E3%3D(x%2B4)%5E3%2B(x%2B3)%5E3%2B(x%2B2)%5E3%2B(x%2B1)%5E3


Последний раз редактировалось Slon 16 май 2018, 18:35, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравненние 3-й степени в целых числах
СообщениеДобавлено: 16 май 2018, 18:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
это сводится к кубическому полиному

[math]3x^3+15x^2+15x-25=0[/math]

Решается Методом Кардано, есть только один действительный корень, но он не целый:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot(25+-+15+x+-+15+x%5E2+-+3+x%5E3,x%3D-5..2)

Целый корень в таком тождестве

[math](x+10)^3=(x+4)^3+(x+3)^3+(x+2)^3+(x+1)^3[/math]

ибо

[math]-x^3+70x+300=0[/math]

Можно получить результат методом итерации:

[math]x_{n+1}=\sqrt[3]{70x_n+300}[/math]

[math]x_0=1[/math]

Достаточно 18 итераций, чтобы с большой точностью получить результат 10


Последний раз редактировалось Avgust 16 май 2018, 18:48, всего редактировалось 4 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
bimol
 Заголовок сообщения: Re: Уравненние 3-й степени в целых числах
СообщениеДобавлено: 16 май 2018, 18:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon
Чтобы полностью ссылка читалась, надо ее в тегах [url]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Slon
 Заголовок сообщения: Re: Уравненние 3-й степени в целых числах
СообщениеДобавлено: 16 май 2018, 18:47 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 11:00
Сообщений: 250
Cпасибо сказано: 98
Спасибо получено:
34 раз в 28 сообщениях
Очков репутации: -124

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
что-то мне подсказывает, что Вы ошиблись в формулировке этого задания
Slon
Задание сформулировано абсолютно точно.
И потом, друзья, решение от Вольфрама мне не зачтут. Хотелось бы аналитически.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравненние 3-й степени в целых числах
СообщениеДобавлено: 16 май 2018, 18:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia
аналитически - только формула Кврдано
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BE

У Вас должен получиться единственный действительный корень:

[math]x=\frac 13 \sqrt[3]{100+3\sqrt{10}}+\frac{10}{3 \sqrt[3]{100+3\sqrt{10}}}-\frac 53\approx 0.84081[/math]


Последний раз редактировалось Avgust 16 май 2018, 19:03, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравненние 3-й степени в целых числах
СообщениеДобавлено: 16 май 2018, 18:57 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
13 дек 2015, 17:51
Сообщений: 952
Cпасибо сказано: 154
Спасибо получено:
150 раз в 135 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia писал(а):
Вызвало затруднения у меня такое уравнение:
[math](x+5)^3=(x+4)^3+(x+3)^3+(x+2)^3+(x+1)^3[/math]
Надо найти решения в целых числах.
Уравнение
[math](x-5)^3=(x+4)^3+(x+3)^3+(x+2)^3+(x+1)^3[/math]
имеет целый корень

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравненние 3-й степени в целых числах
СообщениеДобавлено: 16 май 2018, 19:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bimol, точно!!!
Тогда
[math]x^3+15x^2+5x+75=0[/math]

[math](x+15)(x^2+5)=0[/math]

[math]x=-15[/math]

остальные - мнимые.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравненние 3-й степени в целых числах
СообщениеДобавлено: 16 май 2018, 20:00 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 11:00
Сообщений: 250
Cпасибо сказано: 98
Спасибо получено:
34 раз в 28 сообщениях
Очков репутации: -124

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Господа, это всё, конечно, очень интересно. Но как же мне решить моё уравнение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравненние 3-й степени в целых числах
СообщениеДобавлено: 16 май 2018, 20:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теорема о рациональных корнях многочлена гласит, что целый корень должен делить свободный член.
У этого свободного члена только 6 делителей. Остается их быстренько перебрать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 22 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
В целых числах

в форуме Алгебра

cetrin

5

215

04 дек 2019, 10:07

Решить в целых числах

в форуме Теория чисел

AlexSam

14

1049

11 май 2015, 21:26

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

nuclscient

7

276

08 мар 2023, 18:46

Уравнение в целых числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

AnnaIvan

2

488

13 окт 2016, 23:12

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

illlidian

1

300

03 июн 2019, 21:03

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

bekean

8

451

10 май 2019, 16:09

Решить в целых числах

в форуме Алгебра

Bonaqua

11

863

05 мар 2015, 00:15

X^2+y^2=19451945 В целых числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Hiler

8

1297

25 мар 2020, 15:24

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

zakharova-forum

2

283

11 июл 2020, 20:43

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

KseniyaM

4

495

07 май 2014, 20:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved