Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
finnfer |
|
|
Такая вот задача, у меня есть выражение [math]z^3-y^3[/math], которое делится на число a. При этом ни z, ни y на a не делятся, сами z и y взаимно простые и натуральные. Мне надо определить какие выражения вида [math]z^n-y^n[/math] будут делится на a. Ну с [math]z^6-y^6[/math] и т.д. по аналогии понятно, а вот могут быть еще какие-то решения? |
||
Вернуться к началу | ||
finnfer |
|
|
Я не уточнил, что а - простое число, больше 2.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю finnfer "Спасибо" сказали: pacha |
||
underline |
|
|
При таких условиях, однозначно при любом n=3k (разложения разности степеней двух чисел)
Далее варианты. В силу z³-y³=(z-y)(z²+y²+zy), то либо z-y=ka, либо z²+y²+zy=ka. В первом случае, на а делится при любом n (по разложению разности степеней). Второй случай острее... |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Поэтому возможен такой выход для второго варианта (пардон, с телефона, никак не могу освоить LaTeX).
Раскладываем: z^n-y^n=(z-y)(z^(n-1)+z^(n-2)*y+...+y^(n-1)). Далее по каждым трем членам во втором множителе (первый множитель, по второму варианту, не кратен а) подряд выносим общий множитель, получим выражения вида z^t*y^u*(z²+y²+zy)+C (C-некий остаток). При n=3k, C=0 => выражение кратно а (легко доказать по индукции, остальные остатки аналогично); при а=3k+1, C=y^(n-1), поскольку у не кратно а, то и все выражение не кратно а; при а=3k+2, C=z*y^(n-2)+y^(n-1)=y^(n-2)*(z+y), y не кратно а, значит z+y может быть кратно а, при условии, что z-y не кратно а. Теперь остается выяснить, может ли z+y быть кратно простому а, при некратном z-y. |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Теперь докажем, что при C=y^(n-2)*(z+y), выражение не кратно а. Из условия, z и у не кратны а, и по предположению z²+y²+zy=ka. Нас интересует, z+y, пусть оно равно ma. Тогда z²+y²+zy=(z+y)²-zy=m²a²-zy, с другой стороны z²+y²+zy=ka, отсюда m²a²-zy=ka, но тогда zy тоже кратно а, то есть хотя бы одно из них кратно а, что противоречит предположению, значит, при n=3k+2, выражение тоже не кратно а.
Итого, делится на a: 1) при z-y кратном а; 2) при n кратном 3. |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
[math]z^n-y^n\pmod a=0[/math] при [math]n=\varphi(a)[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
vorvalm
a, если я все правильно понял, так-то бы простое. |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Не обязательно, лишь бы [math](z,y,a)=1[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
vorvalm
Опять же, если я правильно понял, то 7³-6³ делится на 127, но 7^127-6^127 на 127 не делится, в разложении по разности степеней останется 6^126=1 (mod 127) |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
Если [math]gcd(z, y)=1[/math], то [math]gcd(z^n-y^n, z^k-y^k) = z^{gcd(n, k)}-y^{gcd(n, k)}[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать по индукции, что выражение делится на 17
в форуме Алгебра |
1 |
481 |
18 июн 2016, 15:05 |
|
Число sm делится на 3 | 3 |
254 |
02 мар 2022, 20:38 |
|
Почему b делится на a?
в форуме Алгебра |
3 |
209 |
19 май 2021, 14:03 |
|
Делится ли N факториал на N*N?
в форуме Алгебра |
19 |
1123 |
24 июл 2014, 16:02 |
|
Показать, что отношение хRу: «x-y делится на 2 | 1 |
331 |
20 дек 2015, 10:57 |
|
Доказать, что число не делится на 3
в форуме Алгебра |
4 |
462 |
16 июл 2021, 21:13 |
|
В какой системе счисления 792 делится на 297?
в форуме Теория чисел |
14 |
501 |
17 фев 2021, 17:51 |
|
2008-значное число a делится на 9
в форуме Алгебра |
11 |
179 |
09 ноя 2023, 22:10 |
|
Сколько чисел в множестве A делится на 3
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
3 |
789 |
10 апр 2014, 20:32 |
|
Доказать, что каждое из следующих чисел делится на 6
в форуме Теория чисел |
1 |
269 |
15 янв 2019, 23:06 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |