Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Выражение делится на а
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 17:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 май 2018, 17:08
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Такая вот задача, у меня есть выражение [math]z^3-y^3[/math], которое делится на число a. При этом ни z, ни y на a не делятся, сами z и y взаимно простые и натуральные. Мне надо определить какие выражения вида [math]z^n-y^n[/math] будут делится на a. Ну с [math]z^6-y^6[/math] и т.д. по аналогии понятно, а вот могут быть еще какие-то решения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выражение делится на а
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 18:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 май 2018, 17:08
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не уточнил, что а - простое число, больше 2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю finnfer "Спасибо" сказали:
pacha
 Заголовок сообщения: Re: Выражение делится на а
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 20:16 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При таких условиях, однозначно при любом n=3k (разложения разности степеней двух чисел)
Далее варианты. В силу z³-y³=(z-y)(z²+y²+zy), то либо z-y=ka, либо z²+y²+zy=ka. В первом случае, на а делится при любом n (по разложению разности степеней). Второй случай острее...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выражение делится на а
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 20:42 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поэтому возможен такой выход для второго варианта (пардон, с телефона, никак не могу освоить LaTeX).
Раскладываем: z^n-y^n=(z-y)(z^(n-1)+z^(n-2)*y+...+y^(n-1)). Далее по каждым трем членам во втором множителе (первый множитель, по второму варианту, не кратен а) подряд выносим общий множитель, получим выражения вида z^t*y^u*(z²+y²+zy)+C (C-некий остаток). При n=3k, C=0 => выражение кратно а (легко доказать по индукции, остальные остатки аналогично); при а=3k+1, C=y^(n-1), поскольку у не кратно а, то и все выражение не кратно а; при а=3k+2, C=z*y^(n-2)+y^(n-1)=y^(n-2)*(z+y), y не кратно а, значит z+y может быть кратно а, при условии, что z-y не кратно а.
Теперь остается выяснить, может ли z+y быть кратно простому а, при некратном z-y.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выражение делится на а
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 21:13 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теперь докажем, что при C=y^(n-2)*(z+y), выражение не кратно а. Из условия, z и у не кратны а, и по предположению z²+y²+zy=ka. Нас интересует, z+y, пусть оно равно ma. Тогда z²+y²+zy=(z+y)²-zy=m²a²-zy, с другой стороны z²+y²+zy=ka, отсюда m²a²-zy=ka, но тогда zy тоже кратно а, то есть хотя бы одно из них кратно а, что противоречит предположению, значит, при n=3k+2, выражение тоже не кратно а.
Итого, делится на a:
1) при z-y кратном а;
2) при n кратном 3.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выражение делится на а
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 21:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]z^n-y^n\pmod a=0[/math] при [math]n=\varphi(a)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выражение делится на а
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 21:29 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm
a, если я все правильно понял, так-то бы простое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выражение делится на а
СообщениеДобавлено: 02 май 2018, 08:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не обязательно, лишь бы [math](z,y,a)=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выражение делится на а
СообщениеДобавлено: 02 май 2018, 15:07 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm
Опять же, если я правильно понял, то 7³-6³ делится на 127, но 7^127-6^127 на 127 не делится, в разложении по разности степеней останется 6^126=1 (mod 127)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Выражение делится на а
СообщениеДобавлено: 02 май 2018, 16:14 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]gcd(z, y)=1[/math], то [math]gcd(z^n-y^n, z^k-y^k) = z^{gcd(n, k)}-y^{gcd(n, k)}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать по индукции, что выражение делится на 17

в форуме Алгебра

sfanter

1

481

18 июн 2016, 15:05

Число sm делится на 3

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Tobias

3

254

02 мар 2022, 20:38

Почему b делится на a?

в форуме Алгебра

Feldhamster

3

209

19 май 2021, 14:03

Делится ли N факториал на N*N?

в форуме Алгебра

Mihail_Nikolenko

19

1123

24 июл 2014, 16:02

Показать, что отношение хRу: «x-y делится на 2

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

aksel777

1

331

20 дек 2015, 10:57

Доказать, что число не делится на 3

в форуме Алгебра

Ana_math

4

462

16 июл 2021, 21:13

В какой системе счисления 792 делится на 297?

в форуме Теория чисел

AlexKostal

14

501

17 фев 2021, 17:51

2008-значное число a делится на 9

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

11

179

09 ноя 2023, 22:10

Сколько чисел в множестве A делится на 3

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

javavirys

3

789

10 апр 2014, 20:32

Доказать, что каждое из следующих чисел делится на 6

в форуме Теория чисел

e7min

1

269

15 янв 2019, 23:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved