Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Совершенные числа
СообщениеДобавлено: 09 апр 2018, 14:22 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую, встретил 2 задачки про совершенные числа

1. Доказать, что если [math]2^p-1[/math] - простое число, то [math]2^{p-1}(2^p-1)[/math] - совершенное число
2. Доказать, что все четные совершенные числа удовлетворяют формуле 1)

и вот на задаче №2 застрял (первая решается легко)

Подскажите куда стоит смотреть, чтобы вывести такое доказательство

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенные числа
СообщениеДобавлено: 09 апр 2018, 14:45 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Докажите, что если [math]\sigma(n)[/math] - сумма всех делителей [math]n[/math] (включая само число), то для взаимнопростых [math]a[/math] и [math]b[/math] выполнено [math]\sigma(ab)=\sigma(a)\cdot\sigma(b)[/math]
(в теории чисел такие функции называются мультипликативными)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенные числа
СообщениеДобавлено: 10 апр 2018, 12:19 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, супер, спасибо!

пусть [math]\xi[/math] - чётное совершенное число, тогда
[math]\xi = 2^{k}p[/math]

поскольку, если σ(n) - сумма всех делителей n (включая само число), то для взаимнопростых a и b выполненяется σ(ab)=σ(a)⋅σ(b)

тогда

[math]\xi = 2^{k}p = \sigma(2^{k}) \sigma(p) - 2^{k}p[/math]
[math]2^{k+1}p = \sigma(2^{k}) \sigma(p) = (2^{k+1} - 1) \sigma(p)[/math]

поскольку [math]2[/math] и [math][/math]p - взаимопростые, то

[math]2^{k+1} = \sigma(p)[/math]
[math]p = 2^{k+1} - 1[/math]

учитывая, что

[math]\sigma(p) = \varsigma(p) + p[/math]

где [math]\varsigma(p)[/math] - сумма всех делителей кроме его самого, то

[math]2^{k+1} = \varsigma(p) + 2^{k+1} - 1[/math]
[math]\varsigma(p) = 1[/math]

т.е. [math]p[/math] - простое (последние 2 формулы наверное были необязательны и о простоте можно было сразу сказать)

ну и возвращаясь к самому началу, получаем

[math]\xi = 2^{k}(2^{k+1} - 1)[/math]

ДОКАЗАНО.

P.S.
Осталось доказать, задачку 3) - доказать, что нечетных совершенных чисел не существует :)
Правда не понятно куда и тут смотреть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенные числа
СообщениеДобавлено: 10 апр 2018, 12:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fireman писал(а):
[math]2^{k+1}p = \sigma(2^{k}) \sigma(p) = (2^{k+1} - 1) \sigma(p)[/math]

поскольку [math]2[/math] и [math][/math]p - взаимопростые, то

[math]2^{k+1} = \sigma(p)[/math]
[math]p = 2^{k+1} - 1[/math]



Если дотошно, то следствием будет

[math]2^{k+1} = \frac{ \sigma(p)}d[/math]

[math]p = d \cdot (2^{k+1} - 1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенные числа
СообщениеДобавлено: 10 апр 2018, 16:28 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Если дотошно, то следствием будет


действительно, но что-то голова не варит, чтоб понять как из под этого выйти

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенные числа
СообщениеДобавлено: 10 апр 2018, 16:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не бином Ньютона
Если [math]d>1[/math], то из второго уравнения

[math]2^{k+1}=\frac pd + 1[/math]

Подставляем в первое

[math]p+d = \sigma(p) \geqslant p+d+1[/math] - противоречие

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенные числа
СообщениеДобавлено: 10 апр 2018, 16:45 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
не понял :unknown:
откуда неравенство вылезло

[math]\sigma (p) \geqslant 1 + p[/math]

- это понятно, но вот с d...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенные числа
СообщениеДобавлено: 10 апр 2018, 16:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
d - делитель p

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Fireman
 Заголовок сообщения: Re: Совершенные числа
СообщениеДобавлено: 10 апр 2018, 17:00 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Точно!!!
Swan еще раз огромное спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Совершенные числа: существуют ли нечетные совершенные числа?

в форуме Палата №6

Renatik

2

186

26 июн 2022, 14:20

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

в форуме Теория чисел

Arifmet

1

259

01 май 2019, 19:37

Найдите совершенные д.н.ф. и к.н.ф. 2 способами

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

pashoklubim

1

91

25 ноя 2021, 11:32

Разбиение числа на сумму произвольного числа квадратов

в форуме Теория чисел

chimikus

1

567

02 янв 2018, 16:59

Комплексные числа, найти корни к-го числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

bellkross

4

526

04 окт 2016, 16:43

Числа Каталана и числа Фибоначчи

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

BrODYGA

1

295

27 ноя 2020, 00:23

Два числа

в форуме Теория вероятностей

Ciber15

8

453

27 сен 2018, 22:01

Два числа

в форуме Алгебра

DeD

4

338

18 фев 2017, 10:58

Делимость числа

в форуме Теория чисел

fingolfin

10

556

27 мар 2018, 14:23

Отрицательные числа

в форуме Алгебра

Redfild

5

431

23 дек 2017, 10:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved