Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Fireman |
|
|
1. Доказать, что если [math]2^p-1[/math] - простое число, то [math]2^{p-1}(2^p-1)[/math] - совершенное число 2. Доказать, что все четные совершенные числа удовлетворяют формуле 1) и вот на задаче №2 застрял (первая решается легко) Подскажите куда стоит смотреть, чтобы вывести такое доказательство |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Докажите, что если [math]\sigma(n)[/math] - сумма всех делителей [math]n[/math] (включая само число), то для взаимнопростых [math]a[/math] и [math]b[/math] выполнено [math]\sigma(ab)=\sigma(a)\cdot\sigma(b)[/math]
(в теории чисел такие функции называются мультипликативными) |
||
Вернуться к началу | ||
Fireman |
|
|
swan, супер, спасибо!
пусть [math]\xi[/math] - чётное совершенное число, тогда [math]\xi = 2^{k}p[/math] поскольку, если σ(n) - сумма всех делителей n (включая само число), то для взаимнопростых a и b выполненяется σ(ab)=σ(a)⋅σ(b) тогда [math]\xi = 2^{k}p = \sigma(2^{k}) \sigma(p) - 2^{k}p[/math] [math]2^{k+1}p = \sigma(2^{k}) \sigma(p) = (2^{k+1} - 1) \sigma(p)[/math] поскольку [math]2[/math] и [math][/math]p - взаимопростые, то [math]2^{k+1} = \sigma(p)[/math] [math]p = 2^{k+1} - 1[/math] учитывая, что [math]\sigma(p) = \varsigma(p) + p[/math] где [math]\varsigma(p)[/math] - сумма всех делителей кроме его самого, то [math]2^{k+1} = \varsigma(p) + 2^{k+1} - 1[/math] [math]\varsigma(p) = 1[/math] т.е. [math]p[/math] - простое (последние 2 формулы наверное были необязательны и о простоте можно было сразу сказать) ну и возвращаясь к самому началу, получаем [math]\xi = 2^{k}(2^{k+1} - 1)[/math] ДОКАЗАНО. P.S. Осталось доказать, задачку 3) - доказать, что нечетных совершенных чисел не существует Правда не понятно куда и тут смотреть. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Fireman писал(а): [math]2^{k+1}p = \sigma(2^{k}) \sigma(p) = (2^{k+1} - 1) \sigma(p)[/math] поскольку [math]2[/math] и [math][/math]p - взаимопростые, то [math]2^{k+1} = \sigma(p)[/math] [math]p = 2^{k+1} - 1[/math] Если дотошно, то следствием будет [math]2^{k+1} = \frac{ \sigma(p)}d[/math] [math]p = d \cdot (2^{k+1} - 1)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Fireman |
|
|
swan писал(а): Если дотошно, то следствием будет действительно, но что-то голова не варит, чтоб понять как из под этого выйти |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Не бином Ньютона
Если [math]d>1[/math], то из второго уравнения [math]2^{k+1}=\frac pd + 1[/math] Подставляем в первое [math]p+d = \sigma(p) \geqslant p+d+1[/math] - противоречие |
||
Вернуться к началу | ||
Fireman |
|
|
не понял
откуда неравенство вылезло [math]\sigma (p) \geqslant 1 + p[/math] - это понятно, но вот с d... |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
d - делитель p
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Fireman |
||
Fireman |
|
|
Точно!!!
Swan еще раз огромное спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Совершенные числа: существуют ли нечетные совершенные числа?
в форуме Палата №6 |
2 |
186 |
26 июн 2022, 14:20 |
|
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА
в форуме Теория чисел |
1 |
259 |
01 май 2019, 19:37 |
|
Найдите совершенные д.н.ф. и к.н.ф. 2 способами | 1 |
91 |
25 ноя 2021, 11:32 |
|
Разбиение числа на сумму произвольного числа квадратов
в форуме Теория чисел |
1 |
567 |
02 янв 2018, 16:59 |
|
Комплексные числа, найти корни к-го числа | 4 |
526 |
04 окт 2016, 16:43 |
|
Числа Каталана и числа Фибоначчи | 1 |
295 |
27 ноя 2020, 00:23 |
|
Два числа
в форуме Теория вероятностей |
8 |
453 |
27 сен 2018, 22:01 |
|
Два числа
в форуме Алгебра |
4 |
338 |
18 фев 2017, 10:58 |
|
Делимость числа
в форуме Теория чисел |
10 |
556 |
27 мар 2018, 14:23 |
|
Отрицательные числа
в форуме Алгебра |
5 |
431 |
23 дек 2017, 10:33 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |