Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Делимость числа
СообщениеДобавлено: 27 мар 2018, 14:23 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
10 мар 2015, 04:54
Сообщений: 117
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Число х делится на 8 без остатка, делится на 125 с остатком 1. Как отсюда получается, что x делится на 1000 с остатком 376?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Делимость числа
СообщениеДобавлено: 27 мар 2018, 15:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x\pmod 8=0,\; \Longrightarrow x=8k[/math]
[math]x\pmod {125}=1,\;8k\pmod {125}=1,\;k=47,\;x=376[/math]
[math]376\pmod 8=0[/math]
[math]376-1\pmod {125}=0[/math]
[math]376^2-376\pmod {1000}=0[/math]


Последний раз редактировалось vorvalm 27 мар 2018, 16:08, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Делимость числа
СообщениеДобавлено: 27 мар 2018, 15:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ещё вариант. Имеем [math]x=8k,x=125m+1[/math]. Решаем диофантово уравнение [math]8k=125m+1[/math] с решением [math]m=8n+3[/math], подставляем [math]x=125m+1=1000n+376[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
fingolfin
 Заголовок сообщения: Re: Делимость числа
СообщениеДобавлено: 27 мар 2018, 16:17 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
fingolfin
Я бы рассмотрел три последние цифры числа [math]x.[/math] Пусть они образуют трёхзначное число вида [math]\overline{abc}[/math] (я надеюсь, Вы понимаете, что это значит). Если это число делится на [math]8,[/math] то число [math]4a+2b+c[/math] делится на [math]8.[/math] Из трёхзначных чисел, которые делятся на [math]125[/math] с остатком [math]1,[/math] числа [math]376,~576,~776,[/math] по-моему, делятся на [math]8[/math] без остатка...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Делимость числа
СообщениеДобавлено: 27 мар 2018, 16:44 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Из трёхзначных чисел, которые делятся на 125 с остатком 1, числа 376, 576, 776, по-моему,

Из этих чисел только 376 дает остаток 1 при делении на 125.
То есть из остатков по модулю 1000, что дают 1 при делении на 125: [math]1, 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876[/math] только 376 дает указанный остаток при делении на 8.

По вопросу TS: есть только один остаток по модулю [math]8x125[/math] с заданными остатками по 8 и по 125, а 376 подошел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Делимость числа
СообщениеДобавлено: 27 мар 2018, 16:47 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
10 мар 2015, 04:54
Сообщений: 117
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm,
Вашу мысль я потерял на шаге k=47. Почему k=8? Во всяком случае, искомого утверждения [math]x \pmod{ 1000 }=376[/math] я тоже не нашел...
michel,
Благодарю! Я даже составил это диофантово уравнение, но почему-то не догадался попробовать решить его :roll:
Andy,
Не совсем понял вас. Точнее, почему 4a+2b+c делится на 8 и зачем это нам надо? Ведь далее вы пишете
Andy писал(а):
Из трёхзначных чисел, которые делятся на 125 с остатком 1, числа 376, 576, 776, по-моему, делятся на 8 без остатка...

а это утверждение, кажется, имеет смысл и без предшествующего.
Slon,
Я понимаю, что можно просто подобрать, но меня интересовало аналитическое решение в общем виде, что мне уже предоставили :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Делимость числа
СообщениеДобавлено: 27 мар 2018, 16:59 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Из этих чисел только 376 дает остаток 1 при делении на 125.

И в самом деле... :oops: Вношу изменения в своё сообщение:

fingolfin
Я бы рассмотрел три последние цифры числа [math]x.[/math] Пусть они образуют трёхзначное число вида [math]\overline{abc}[/math] (я надеюсь, Вы понимаете, что это значит). Если это число делится на [math]8,[/math] то число [math]4a+2b+c[/math] делится на [math]8.[/math] Из трёхзначных чисел, которые делятся на [math]125[/math] с остатком [math]1,[/math] только число [math]376,[/math] по-моему, делится на [math]8[/math] без остатка...

Добавляя любое количество тысяч к числу [math]\overline{abc}[/math] получим число, которое при делении на [math]1000[/math] даёт остаток [math]376.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Делимость числа
СообщениеДобавлено: 27 мар 2018, 17:43 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
10 мар 2015, 04:54
Сообщений: 117
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Другими словами: почему [math]\overline{abc} \pmod{ 8 } =0 \Rightarrow (4a+2b+c) \pmod{ 8 } =0[/math] и что это утверждение нам дает, т.е. чем оно помогает при дальнейшем подборе искомого трехзначного числа?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Делимость числа
СообщениеДобавлено: 27 мар 2018, 17:59 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
fingolfin
Мне удобно было применить этот признак. Суть ведь в том, что среди трёхзначных чисел, которые при делении на [math]125[/math] дают остаток [math]1,[/math] только одно делится на [math]8.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Делимость числа
СообщениеДобавлено: 27 мар 2018, 18:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
fingolfin писал(а):
vorvalm,
Вашу мысль я потерял на шаге k=47. Почему k=8? Во всяком случае, искомого утверждения x(mod1000)=376
x(mod1000)=376
я тоже не нашел...

Я применил элементы теории сравнений. Остаток можно переносить в левую часть и наоборот,
а к остатку можно прибавлять число, кратное модулю.([math]125\cdot 3+1=376[/math])

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Делимость числа 3^n +1

в форуме Алгебра

nuclscient

31

490

08 фев 2023, 18:57

23 числа и делимость разности квадратов на 100

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

1

54

20 фев 2024, 01:03

Делимость

в форуме Теория чисел

Gagarin

16

767

16 фев 2017, 11:29

Делимость на 6

в форуме Алгебра

Shin

1

348

03 сен 2015, 13:30

Делимость на 7

в форуме Алгебра

BlackBXR

1

378

28 июл 2014, 23:36

Делимость

в форуме Теория чисел

Genius

26

1883

28 мар 2015, 02:16

Делимость

в форуме Теория чисел

DanyaRRRR

2

444

20 июл 2017, 22:06

Делимость на 37

в форуме Алгебра

Arhimed455

2

232

25 июн 2019, 21:36

Не-делимость на 49

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

5

564

22 авг 2017, 00:34

Делимость

в форуме Алгебра

Igor kupryniuk

1

140

25 мар 2020, 16:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved