Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать или опровергнуть утверждение о делимости
СообщениеДобавлено: 24 дек 2017, 02:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2017, 01:02
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!
Дано: [math]a+b-c[/math] делится на 5. При этом [math]a,b,c[/math] и 5 - взаимнопростые числа. Нужно доказать или опровергнуть, что [math]a^{5n}+b^{5n}-c^{5n}[/math], где n - натуральное нечетное число, также делится на 5. Проверял на числах, вроде получается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать или опровергнуть утверждение о делимости
СообщениеДобавлено: 24 дек 2017, 08:44 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предлагаю такую схему. Рассматриваем все возможные a, b, c в виде 5k+t, где t - остаток от деления заданных чисел на 5. Отсюда по условию 1≤t≤4. Теперь нужно рассмотреть все подходящие по условию тройки a,b, c с учетом их остатков и воспользоваться биномом Ньютона. Возможных вариантов немного (всего 12 с учетом повторных), где каждый вариант делится на 5.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали:
johnson
 Заголовок сообщения: Re: Доказать или опровергнуть утверждение о делимости
СообщениеДобавлено: 24 дек 2017, 10:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Надо взять разность [math](a^{5n}+b^{5n}-c^{5n})\pmod 5=0[/math] и
[math](a+b-c)\pmod 5=0[/math], получим

[math](a^{5n}-a)+(b^{5n}-b)-(c^{5n}-c)\pmod 5=0[/math]

Очевидно, что это сравнение выполняется только при [math]n=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали:
johnson
 Заголовок сообщения: Re: Доказать или опровергнуть утверждение о делимости
СообщениеДобавлено: 24 дек 2017, 15:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2017, 01:02
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):

Очевидно, что это сравнение выполняется только при [math]n=1[/math]


[math]11+7-8=10[/math] и [math]11^{15}+7^{15}-8^{15}=4 146 811 358 836 760[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать или опровергнуть утверждение о делимости
СообщениеДобавлено: 24 дек 2017, 18:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
johnson писал(а):

[math]11+7-8=10[/math] и [math]11^{15}+7^{15}-8^{15}=4 146 811 358 836 760[/math]


Вы где-то ошиблись, т.к. последние цифры степени [math]15[/math] для чисел

[math]11 =1,\; 7 =3,\;8 =2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать или опровергнуть утверждение о делимости
СообщениеДобавлено: 24 дек 2017, 19:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так так [math]a^{4n}\equiv 1 \pmod 5[/math] (малая теорема Ферма) и [math]a^{5n}=a^n\cdot a^{4n}[/math]
(аналогично для [math]b,c[/math]), то утверждение равносильно

[math]a^n+b^n-c^n[/math] делится на 5 для любого нечетного n, что очевидно неверно

[math]1^3+1^3-2^3[/math] не делится на 5.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
johnson
 Заголовок сообщения: Re: Доказать или опровергнуть утверждение о делимости
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 01:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2017, 01:02
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо за ответы!
Excel подвел меня в округлении больших чисел, поэтому я запостил здесь неверное значение, прошу прощения.
Shadows, насколько я понимаю, Вы показали, что обязательно найдутся такие нечетные n, для которых выражение [math]a^{5n} +b^{5n} −c^{5n}[/math] будет принимать значения, некратные 5.
vorvalm, Вы говорите о том, что вышезаписанное выражение некратно 5 при любых n>1. Но, например, для [math]n=5[/math] оно, ведь все же кратно 5?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать или опровергнуть утверждение о делимости
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 08:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
johnson писал(а):
например, для n=5

оно, ведь все же кратно 5?

Не только. Это выражение кратно [math]5[/math] при [math]n=1+4k,\;k
\in N+0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать или опровергнуть утверждение о делимости
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 11:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
johnson писал(а):
Shadows, насколько я понимаю, Вы показали, что обязательно найдутся такие нечетные n, для которых выражение [math]a^{5n} +b^{5n} −c^{5n}[/math] будет принимать значения, некратные 5.
Я доказал, что верно не для всех. Если найдутся взаимнопростые с 5 [math]a,b,c[/math], такие, что

[math]\begin{cases}a+b-c\equiv 0 \pmod 5\\a^3+b^3-c^3\equiv 0 \pmod 5\end{cases}[/math]

то будет верно для всех нечетных n.

Но таких нету, так что утверждение неверно для любых [math]n=4k+3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать или опровергнуть утверждение

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

0

134

03 дек 2019, 17:18

Доказать или опровергнуть утверждение a=b если a × x = b × x

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

d3f4lt

7

78

15 янв 2024, 17:18

Доказать или опровергнуть утверждение (множества)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Reintag

5

686

26 май 2016, 20:27

Доказать утверждение о делимости

в форуме Алгебра

Fireman

5

239

16 апр 2019, 11:15

Доказать или опровергнуть

в форуме Дискуссионные математические проблемы

ivashenko

72

3437

05 окт 2014, 21:17

Доказать или опровергнуть истинность тождества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Nordlling

8

621

30 июн 2018, 22:11

Сравнение по модулю, доказать или опровергнуть

в форуме Теория чисел

K1b0rg

4

383

27 июн 2018, 21:08

Доказать или опровергнуть общезначимость формулы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Artyom1997

5

243

18 окт 2020, 16:33

Доказать свойство делимости

в форуме Алгебра

Dave Bowman

2

97

25 окт 2022, 21:06

Доказать утверждение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

indiana_johns

5

261

11 окт 2021, 04:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved