Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
johnson |
|
|
Дано: [math]a+b-c[/math] делится на 5. При этом [math]a,b,c[/math] и 5 - взаимнопростые числа. Нужно доказать или опровергнуть, что [math]a^{5n}+b^{5n}-c^{5n}[/math], где n - натуральное нечетное число, также делится на 5. Проверял на числах, вроде получается. |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Предлагаю такую схему. Рассматриваем все возможные a, b, c в виде 5k+t, где t - остаток от деления заданных чисел на 5. Отсюда по условию 1≤t≤4. Теперь нужно рассмотреть все подходящие по условию тройки a,b, c с учетом их остатков и воспользоваться биномом Ньютона. Возможных вариантов немного (всего 12 с учетом повторных), где каждый вариант делится на 5.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали: johnson |
||
vorvalm |
|
|
Надо взять разность [math](a^{5n}+b^{5n}-c^{5n})\pmod 5=0[/math] и
[math](a+b-c)\pmod 5=0[/math], получим [math](a^{5n}-a)+(b^{5n}-b)-(c^{5n}-c)\pmod 5=0[/math] Очевидно, что это сравнение выполняется только при [math]n=1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали: johnson |
||
johnson |
|
|
vorvalm писал(а): Очевидно, что это сравнение выполняется только при [math]n=1[/math] [math]11+7-8=10[/math] и [math]11^{15}+7^{15}-8^{15}=4 146 811 358 836 760[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
johnson писал(а): [math]11+7-8=10[/math] и [math]11^{15}+7^{15}-8^{15}=4 146 811 358 836 760[/math] Вы где-то ошиблись, т.к. последние цифры степени [math]15[/math] для чисел [math]11 =1,\; 7 =3,\;8 =2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
Так так [math]a^{4n}\equiv 1 \pmod 5[/math] (малая теорема Ферма) и [math]a^{5n}=a^n\cdot a^{4n}[/math]
(аналогично для [math]b,c[/math]), то утверждение равносильно [math]a^n+b^n-c^n[/math] делится на 5 для любого нечетного n, что очевидно неверно [math]1^3+1^3-2^3[/math] не делится на 5. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: johnson |
||
johnson |
|
|
Большое спасибо за ответы!
Excel подвел меня в округлении больших чисел, поэтому я запостил здесь неверное значение, прошу прощения. Shadows, насколько я понимаю, Вы показали, что обязательно найдутся такие нечетные n, для которых выражение [math]a^{5n} +b^{5n} −c^{5n}[/math] будет принимать значения, некратные 5. vorvalm, Вы говорите о том, что вышезаписанное выражение некратно 5 при любых n>1. Но, например, для [math]n=5[/math] оно, ведь все же кратно 5? |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
johnson писал(а): например, для n=5 оно, ведь все же кратно 5? Не только. Это выражение кратно [math]5[/math] при [math]n=1+4k,\;k \in N+0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
johnson писал(а): Shadows, насколько я понимаю, Вы показали, что обязательно найдутся такие нечетные n, для которых выражение [math]a^{5n} +b^{5n} −c^{5n}[/math] будет принимать значения, некратные 5. Я доказал, что верно не для всех. Если найдутся взаимнопростые с 5 [math]a,b,c[/math], такие, что[math]\begin{cases}a+b-c\equiv 0 \pmod 5\\a^3+b^3-c^3\equiv 0 \pmod 5\end{cases}[/math] то будет верно для всех нечетных n. Но таких нету, так что утверждение неверно для любых [math]n=4k+3[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать или опровергнуть утверждение
в форуме Размышления по поводу и без |
0 |
134 |
03 дек 2019, 17:18 |
|
Доказать или опровергнуть утверждение a=b если a × x = b × x | 7 |
78 |
15 янв 2024, 17:18 |
|
Доказать или опровергнуть утверждение (множества) | 5 |
686 |
26 май 2016, 20:27 |
|
Доказать утверждение о делимости
в форуме Алгебра |
5 |
239 |
16 апр 2019, 11:15 |
|
Доказать или опровергнуть | 72 |
3437 |
05 окт 2014, 21:17 |
|
Доказать или опровергнуть истинность тождества | 8 |
621 |
30 июн 2018, 22:11 |
|
Сравнение по модулю, доказать или опровергнуть
в форуме Теория чисел |
4 |
383 |
27 июн 2018, 21:08 |
|
Доказать или опровергнуть общезначимость формулы | 5 |
243 |
18 окт 2020, 16:33 |
|
Доказать свойство делимости
в форуме Алгебра |
2 |
97 |
25 окт 2022, 21:06 |
|
Доказать утверждение | 5 |
261 |
11 окт 2021, 04:24 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |