Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задачка из треугольника Паскаля
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=56535
Страница 4 из 5

Автор:  ivashenko [ 11 ноя 2017, 00:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Avgust писал(а):
Тут задействованы биноминальные коэффициенты. Как и почему все верно получается - мне неведомо


А кто составлял программу? Или это так Maple сам поработал?

Avgust писал(а):
А через числа Стриллинга вообще получается таблица, что на моем рисунке:


А формулы у Вас есть не в программном коде, а в обычном виде? Числа Стирлинга бывают вроде 2-ч типов. Это через первого типа?

P.S. Посмотрел,Числа Стирлинга первого рода и есть коэффициенты нашего полинома, а сам полином называется убывающим факториалом или символом Похгаммера.

Числа Стирлинга первого рода, т.е. наши коэффициенты, задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами и обозначаются [math]\left[\!\begin{aligned}
& n \\
& k
\end{aligned}\right].[/math]

Не рекуррентных формул для этих чисел похоже пока еще нет.

Автор:  ivashenko [ 11 ноя 2017, 00:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Как всё интересно переплетается в треугольнике Паскаля: биномиальные коэффициенты, числа Фибоначчи, числа Бернулли, числа Стирлинга, обеих родов, степени двойки и наверное много еще чего. Просто кладезь закономерностей.

Автор:  Avgust [ 11 ноя 2017, 03:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Да, это прямо пуп теории чисел. Первую строку получал банальным перебором, а вторая была по ссылке, которую давал два раза. http://oeis.org/A094638
Там спуститься вниз и слева крупными буквами написано MAPLE
Все-таки лучше поискать в литературе про этот полином. Наверняка ему и название дали, и изучили до косточек...
По ссылке https://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number#Basic_properties
в самом конце дана таблица с точно нашими граничными числами: слева - только единички, справа - факториалы. Но начинка другая. Есть и формулы. Может, это наведет на путь наш?

Автор:  ivashenko [ 11 ноя 2017, 11:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Avgust писал(а):
Все-таки лучше поискать в литературе про этот полином. Наверняка ему и название дали, и изучили до косточек...


ivashenko писал(а):
сам полином называется убывающим факториалом или символом Похгаммера.

А коэффициенты в нём- числа Стирлинга первого рода. Не рекуррентной формулы для них не нашел. Эти коэффициенты тесно связаны с числами Стирлинга второго рода,которые в свою очередь связаны с числами Белла. Всё эти числа имеют комбинаторную трактовку.

Автор:  Avgust [ 11 ноя 2017, 12:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Надо бы эту гармошку упростить и найти некую дробь, где куча факториалов, а возможно, и двойных факториалов.
Придется самим попробовать сконструировать формулу, подобную ф-ле для биноминальных коэфф.-тов, но значительно сложней. Или же раскрутить рекуррентную связь между коэффициентами:

[math]a_{n,k}=4\cdot a_{n-1,k-1}+a_{n-1,k}[/math]

с учетом граничных условий.
(n - номер строки, k - номер слагаемого, начиная от левой единицы)

Автор:  ivashenko [ 11 ноя 2017, 12:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Я не представляю как эту гармошку можно упростить до аналитической формулы, задающей коэффициенты. Если бы это было просто, то это бы наверное уже сделали и такую формулу опубликовали бы. Возможно это вообще невозможно, также например как с аналитическим выражением для простых чисел.

Автор:  Avgust [ 11 ноя 2017, 12:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Я добавил мысль в последнем посте.
Теперь по поводу формулы. Мне думается, формулу открыли - просто мы не изучили литературу. Ведь программы же дают результаты! Причем, используя блок биноминальных коэффициентов.

Автор:  ivashenko [ 11 ноя 2017, 12:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Возможно, что там числа Стирлинга ищутся в соответствии с формулой, приведенной по ссылке ниже, которая устанавливает связь между двумя числами с помощью биномиальных коэффициентов. Но может и действительно существует формула, задающая числа Стирлинга через параметры [math]n,k[/math], действительно необходимо лопатить литературу или спросить у знающих людей (если здесь никто не подскажет, то на dxdy.ru например, но я там спросить не могу), чтобы не тратить время на изобретение велосипеда.
Числа Стирлинга первого рода.
Наши коэффициенты - это количество перестановок с [math]k[/math] циклами в множестве из [math]n[/math] элементов. Там же приведен наглядный пример.

Автор:  Avgust [ 11 ноя 2017, 13:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Мне кажется, что Ваша ссылка - то, что нам нужно. Но я не МГУ заканчивал, и знаний явно не хватает, чтобы четко выудить формулу. :sorry:

Вроде все как у нас с Вами:

[math]c(n, k) = c(n-1, k-1) + (n-1) \cdot c(n-1, k) \qquad 0 < k < n.[/math]

В предыдущем посту у меня явно ляпа: надо не 4 , а (n-1).

Автор:  ivashenko [ 11 ноя 2017, 13:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Avgust писал(а):
В предыдущем посту у меня явно ляпа: надо не 4 , а (n-1).


Ага, и умножить на второй множитель, а не на первый.

В общем, судя по всему нет аналитических выражений для этих коэффициентов, потому как числа Стирлинга второго рода устроены более просто и числа Стирлинга первого рода комбинаторно следуют из них, но даже для чисел Стирлинга второго рода нет такой формулы, нет её и для количества разбиений(только асимптотические приближения), а вот для чисел Белла есть формула Добинского. Так что можно смело ломать копья, такого велосипеда еще не изобрели.

Страница 4 из 5 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/