Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задачка из треугольника Паскаля
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=56535
Страница 3 из 5

Автор:  ivashenko [ 09 ноя 2017, 19:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Понял, сумма больше интеграла потому, что ступеньки суммы выступают за линию подинтегральной функции.

Получается [math]\sum (x-0.5)= \int xdx= \frac{x^2}{2}[/math] при целых [math]x[/math]. Я глубоко заблуждался в такой ерунде.

Автор:  sergebsl [ 09 ноя 2017, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Avgust писал(а):
sergebsl
К сожалению, эти числа Бернулли вычислять трудней, чем коэффициенты полинома в задаче этой темы.
А нам нужно найти способ максимально простых вычислений.


А Вы внимательно читали статью? Там не только через числа Бернулли находятся коэффициенты.

Также есть и рекурентные формулы.

То, что вы предложили это и есть рекурентное задание последовательности.

Автор:  ivashenko [ 09 ноя 2017, 20:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Последовательности, которые рассматриваются там и последовательности, рассматриваемые здесь - это не одно и то же, хотя между ними и существует взаимосвязь, с помощью которой я изначально и строил полиномы, пользуясь как-раз информацией с того сайта, но предложенный Avgust-ом метод оказался намного эффективнее.

Автор:  ivashenko [ 09 ноя 2017, 21:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Avgust
Знакопеременный ряд с нашими коэффициентами возникает если вместо выражения:
[math]\frac{(x+0)(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n-1)}{n!}[/math]

рассмотреть полином:
[math]\frac{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)...}{n!}[/math]

Автор:  Avgust [ 09 ноя 2017, 22:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

ivashenko
Да, это верно. Просто удивительно само сочетание числовых значений коэффициентов. При малом числе n даже можно найти эти значения классически через систему уравнений. Наверняка существуют еще удивительные свойства, позволяющие систему расширять.

Автор:  ivashenko [ 09 ноя 2017, 22:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Кстати,коэффициенты полиномов выражающих суммы степеней натуральных чисел выражаются формулой:

[math]a(i,k)=\frac{B_i }{i!}\prod\limits_{j=0}^{i-2}(k-j)\quad i\ge 2[/math]

Очень похоже на формулу для знакопеременного ряда с нашими коэффициентами.

Автор:  ivashenko [ 09 ноя 2017, 23:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

А вот и еще одно замечательное свойство:

Пусть имеем полином:
[math]x^3+3x^2+2x[/math]
Подставляя последовательно натуральные числа вместо [math]x[/math], получаем значения из четвертой строки в исходном треугольнике Паскаля.

Теперь рассмотрим полином с такими же, только знакопеременнымы коэффициентами:
[math]x^3-3x^2+2x[/math]
Подставляя последовательно натуральные числа вместо [math]x[/math], получаем два нуля и затем значения из четвертой строки в исходном треугольнике Паскаля. Т.е. оба эти полинома дают одинаковый ряд значений но при различных x.

Для следующего простого и знакопеременного полинома всё то же самое, только получаем уже значения 5-й строки и нуля в знакопеременном полиноме уже 3. И т.д.

Автор:  Avgust [ 09 ноя 2017, 23:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

надо бы найти простую связь с биноминальными коэффициентами. Я пытаюсь - пока никак не удается.

Автор:  ivashenko [ 10 ноя 2017, 00:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Avgust писал(а):
надо бы найти простую связь с биноминальными коэффициентами. Я пытаюсь - пока никак не удается.


В поисках этой связи удалось установить связь биномиальных коэффициентов и чисел Фибоначчи:
Если биномиальные коэффициенты выразить с помощью знакопеременных полиномов и свести их в таблицу, учитывая нули:

1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35, 45
0, 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120
0, 0, 0, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 252
0, 0, 0, 0, 1, 6, 21, 56, 126, 252
0, 0, 0, 0, 0, 1, 7, 28, 84, 210
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 8, 36, 120
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 9, 45
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 10
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1
, то суммы значений, стоящих на диагоналях, идущих с левого нижнего угла к правому верхнему, будут представлять собой числа Фибоначчи. Не знаю, известна ли эта взаимосвязь или нет.
А суммы элементов в столбцах такой таблицы будут представлять собой степени двойки.

P.S. Посмотрел, похоже всё это известно.

Автор:  Avgust [ 10 ноя 2017, 13:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из треугольника Паскаля

Мне удалось в Maple организовать выход нужных коэффициентов (на знаки внимание не обращать):

seq(seq(coeff(expand(factorial(n)*binomial(x, n)), x, j), j = n .. 1, -1), n = 1 .. 8);


Результат:

1, 1, -1, 1, -3, 2, 1, -6, 11, -6, 1, -10, 35, -50, 24, 1, -15, 85, -225, 274, -120, 1, -21, 175, -735, 1624, -1764, 720, 1, -28, 322, -1960, 6769, -13132, 13068, -5040


Тут задействованы биноминальные коэффициенты. Как и почему все верно получается - мне неведомо.
Но если логику понять, то есть надежда получить алгебраическую формулу.

А через числа Стриллинга вообще получается таблица, что на моем рисунке:

restart; with(combinat); T := proc (n, k) options operator, arrow; abs(combinat:-stirling1(n, n+1-k)) end proc; for n to 8 do seq(T(n, k), k = 1 .. n) end do:


1
1, 1
1, 3, 2
1, 6, 11, 6
1, 10, 35, 50, 24
1, 15, 85, 225, 274, 120
1, 21, 175, 735, 1624, 1764, 720
1, 28, 322, 1960, 6769, 13132, 13068, 5040

Страница 3 из 5 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/