Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Задачка из треугольника Паскаля http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=56535 |
Страница 3 из 5 |
Автор: | ivashenko [ 09 ноя 2017, 19:31 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка из треугольника Паскаля |
Понял, сумма больше интеграла потому, что ступеньки суммы выступают за линию подинтегральной функции. Получается [math]\sum (x-0.5)= \int xdx= \frac{x^2}{2}[/math] при целых [math]x[/math]. Я глубоко заблуждался в такой ерунде. |
Автор: | sergebsl [ 09 ноя 2017, 20:39 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка из треугольника Паскаля |
Avgust писал(а): sergebsl К сожалению, эти числа Бернулли вычислять трудней, чем коэффициенты полинома в задаче этой темы. А нам нужно найти способ максимально простых вычислений. А Вы внимательно читали статью? Там не только через числа Бернулли находятся коэффициенты. Также есть и рекурентные формулы. То, что вы предложили это и есть рекурентное задание последовательности. |
Автор: | ivashenko [ 09 ноя 2017, 20:46 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка из треугольника Паскаля |
Последовательности, которые рассматриваются там и последовательности, рассматриваемые здесь - это не одно и то же, хотя между ними и существует взаимосвязь, с помощью которой я изначально и строил полиномы, пользуясь как-раз информацией с того сайта, но предложенный Avgust-ом метод оказался намного эффективнее. |
Автор: | ivashenko [ 09 ноя 2017, 21:31 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка из треугольника Паскаля |
Avgust Знакопеременный ряд с нашими коэффициентами возникает если вместо выражения: [math]\frac{(x+0)(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n-1)}{n!}[/math] рассмотреть полином: [math]\frac{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)...}{n!}[/math] |
Автор: | Avgust [ 09 ноя 2017, 22:26 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка из треугольника Паскаля |
ivashenko Да, это верно. Просто удивительно само сочетание числовых значений коэффициентов. При малом числе n даже можно найти эти значения классически через систему уравнений. Наверняка существуют еще удивительные свойства, позволяющие систему расширять. |
Автор: | ivashenko [ 09 ноя 2017, 22:40 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка из треугольника Паскаля |
Кстати,коэффициенты полиномов выражающих суммы степеней натуральных чисел выражаются формулой: [math]a(i,k)=\frac{B_i }{i!}\prod\limits_{j=0}^{i-2}(k-j)\quad i\ge 2[/math] Очень похоже на формулу для знакопеременного ряда с нашими коэффициентами. |
Автор: | ivashenko [ 09 ноя 2017, 23:21 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка из треугольника Паскаля |
А вот и еще одно замечательное свойство: Пусть имеем полином: [math]x^3+3x^2+2x[/math] Подставляя последовательно натуральные числа вместо [math]x[/math], получаем значения из четвертой строки в исходном треугольнике Паскаля. Теперь рассмотрим полином с такими же, только знакопеременнымы коэффициентами: [math]x^3-3x^2+2x[/math] Подставляя последовательно натуральные числа вместо [math]x[/math], получаем два нуля и затем значения из четвертой строки в исходном треугольнике Паскаля. Т.е. оба эти полинома дают одинаковый ряд значений но при различных x. Для следующего простого и знакопеременного полинома всё то же самое, только получаем уже значения 5-й строки и нуля в знакопеременном полиноме уже 3. И т.д. |
Автор: | Avgust [ 09 ноя 2017, 23:44 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка из треугольника Паскаля |
надо бы найти простую связь с биноминальными коэффициентами. Я пытаюсь - пока никак не удается. |
Автор: | ivashenko [ 10 ноя 2017, 00:34 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка из треугольника Паскаля |
Avgust писал(а): надо бы найти простую связь с биноминальными коэффициентами. Я пытаюсь - пока никак не удается. В поисках этой связи удалось установить связь биномиальных коэффициентов и чисел Фибоначчи: Если биномиальные коэффициенты выразить с помощью знакопеременных полиномов и свести их в таблицу, учитывая нули: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 А суммы элементов в столбцах такой таблицы будут представлять собой степени двойки. P.S. Посмотрел, похоже всё это известно. |
Автор: | Avgust [ 10 ноя 2017, 13:46 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка из треугольника Паскаля |
Мне удалось в Maple организовать выход нужных коэффициентов (на знаки внимание не обращать): seq(seq(coeff(expand(factorial(n)*binomial(x, n)), x, j), j = n .. 1, -1), n = 1 .. 8); Результат: 1, 1, -1, 1, -3, 2, 1, -6, 11, -6, 1, -10, 35, -50, 24, 1, -15, 85, -225, 274, -120, 1, -21, 175, -735, 1624, -1764, 720, 1, -28, 322, -1960, 6769, -13132, 13068, -5040 Тут задействованы биноминальные коэффициенты. Как и почему все верно получается - мне неведомо. Но если логику понять, то есть надежда получить алгебраическую формулу. А через числа Стриллинга вообще получается таблица, что на моем рисунке: restart; with(combinat); T := proc (n, k) options operator, arrow; abs(combinat:-stirling1(n, n+1-k)) end proc; for n to 8 do seq(T(n, k), k = 1 .. n) end do: 1 |
Страница 3 из 5 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |