Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2017, 20:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Понял, сумма больше интеграла потому, что ступеньки суммы выступают за линию подинтегральной функции.

Получается [math]\sum (x-0.5)= \int xdx= \frac{x^2}{2}[/math] при целых [math]x[/math]. Я глубоко заблуждался в такой ерунде.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2017, 21:39 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 03:33
Сообщений: 1618
Cпасибо сказано: 97
Спасибо получено:
211 раз в 205 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
sergebsl
К сожалению, эти числа Бернулли вычислять трудней, чем коэффициенты полинома в задаче этой темы.
А нам нужно найти способ максимально простых вычислений.


А Вы внимательно читали статью? Там не только через числа Бернулли находятся коэффициенты.

Также есть и рекурентные формулы.

То, что вы предложили это и есть рекурентное задание последовательности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2017, 21:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Последовательности, которые рассматриваются там и последовательности, рассматриваемые здесь - это не одно и то же, хотя между ними и существует взаимосвязь, с помощью которой я изначально и строил полиномы, пользуясь как-раз информацией с того сайта, но предложенный Avgust-ом метод оказался намного эффективнее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2017, 22:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Знакопеременный ряд с нашими коэффициентами возникает если вместо выражения:
[math]\frac{(x+0)(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n-1)}{n!}[/math]

рассмотреть полином:
[math]\frac{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)...}{n!}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2017, 23:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10118
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko
Да, это верно. Просто удивительно само сочетание числовых значений коэффициентов. При малом числе n даже можно найти эти значения классически через систему уравнений. Наверняка существуют еще удивительные свойства, позволяющие систему расширять.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2017, 23:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кстати,коэффициенты полиномов выражающих суммы степеней натуральных чисел выражаются формулой:

[math]a(i,k)=\frac{B_i }{i!}\prod\limits_{j=0}^{i-2}(k-j)\quad i\ge 2[/math]

Очень похоже на формулу для знакопеременного ряда с нашими коэффициентами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2017, 00:21 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вот и еще одно замечательное свойство:

Пусть имеем полином:
[math]x^3+3x^2+2x[/math]
Подставляя последовательно натуральные числа вместо [math]x[/math], получаем значения из четвертой строки в исходном треугольнике Паскаля.

Теперь рассмотрим полином с такими же, только знакопеременнымы коэффициентами:
[math]x^3-3x^2+2x[/math]
Подставляя последовательно натуральные числа вместо [math]x[/math], получаем два нуля и затем значения из четвертой строки в исходном треугольнике Паскаля. Т.е. оба эти полинома дают одинаковый ряд значений но при различных x.

Для следующего простого и знакопеременного полинома всё то же самое, только получаем уже значения 5-й строки и нуля в знакопеременном полиноме уже 3. И т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2017, 00:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10118
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
надо бы найти простую связь с биноминальными коэффициентами. Я пытаюсь - пока никак не удается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2017, 01:34 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
надо бы найти простую связь с биноминальными коэффициентами. Я пытаюсь - пока никак не удается.


В поисках этой связи удалось установить связь биномиальных коэффициентов и чисел Фибоначчи:
Если биномиальные коэффициенты выразить с помощью знакопеременных полиномов и свести их в таблицу, учитывая нули:

1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35, 45
0, 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120
0, 0, 0, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 252
0, 0, 0, 0, 1, 6, 21, 56, 126, 252
0, 0, 0, 0, 0, 1, 7, 28, 84, 210
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 8, 36, 120
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 9, 45
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 10
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1
, то суммы значений, стоящих на диагоналях, идущих с левого нижнего угла к правому верхнему, будут представлять собой числа Фибоначчи. Не знаю, известна ли эта взаимосвязь или нет.
А суммы элементов в столбцах такой таблицы будут представлять собой степени двойки.

P.S. Посмотрел, похоже всё это известно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2017, 14:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10118
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне удалось в Maple организовать выход нужных коэффициентов (на знаки внимание не обращать):

seq(seq(coeff(expand(factorial(n)*binomial(x, n)), x, j), j = n .. 1, -1), n = 1 .. 8);


Результат:

1, 1, -1, 1, -3, 2, 1, -6, 11, -6, 1, -10, 35, -50, 24, 1, -15, 85, -225, 274, -120, 1, -21, 175, -735, 1624, -1764, 720, 1, -28, 322, -1960, 6769, -13132, 13068, -5040


Тут задействованы биноминальные коэффициенты. Как и почему все верно получается - мне неведомо.
Но если логику понять, то есть надежда получить алгебраическую формулу.

А через числа Стриллинга вообще получается таблица, что на моем рисунке:

restart; with(combinat); T := proc (n, k) options operator, arrow; abs(combinat:-stirling1(n, n+1-k)) end proc; for n to 8 do seq(T(n, k), k = 1 .. n) end do:


1
1, 1
1, 3, 2
1, 6, 11, 6
1, 10, 35, 50, 24
1, 15, 85, 225, 274, 120
1, 21, 175, 735, 1624, 1764, 720
1, 28, 322, 1960, 6769, 13132, 13068, 5040

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Простые множители чисел треугольника Паскаля

в форуме Теория чисел

ley

2

446

15 янв 2014, 23:41

Площадь улитки Паскаля

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Olga Aleshina

8

1144

11 апр 2013, 14:42

Построение (черчение) улитки Паскаля r=2+cos(f)

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

nikita123

0

1120

25 апр 2012, 09:29

Степень суммы и треугольник Паскаля

в форуме Алгебра

Valshe

7

219

26 июл 2015, 21:40

Задачка

в форуме Атомная и Ядерная физика

jdit000

0

214

07 дек 2014, 13:23

Задачка

в форуме Алгебра

Sydestro

8

153

26 сен 2016, 21:04

Задачка

в форуме Теория вероятностей

us-han

0

59

18 янв 2017, 16:06

Задачка

в форуме Геометрия

tehnikss

5

188

09 май 2015, 09:36

Задачка на ДСВ

в форуме Теория вероятностей

Wersel

4

320

17 апр 2013, 23:19

Задачка

в форуме Дифференциальное исчисление

helpmeplz

5

386

16 фев 2013, 23:16


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved