Задачка из треугольника Паскаля

Интересно, как можно расписать произведение, вернее существуют ли какие-нибудь формулы для коэффициентов такого произведения, аналогично биному Ньютона?

Хотелось бы избавиться от [math]k[/math] в формуле.

Но k превращается в n в итоге. Ведь в расписанном виде так:

[math]\frac{x}{n!}(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n-1)[/math]

тут никакого k нет и только алгебраически можно что-то делать.

Что касается формулы для коэффициентов, то нужно внимательно изучить
http://oeis.org/A094638 - там есть все, что известно по сегодняшний день об этой последовательности коэффициентов. Самим трудно что-то уникальное придумать.

[math]k[/math]- это переменная, принимающая значения [math]1,3,4, .....n-1[/math], а хотелось бы общую формулу в виде : [math]x^{n-1}+ax^{n-2}+bx^3+cx^{n-3}+.......+(n-2)!x[/math].
Хотя, наверное и приведенная Вами формула мне подойдет.

Я не особо дружу с английским, поэтому мне не всё понятно там. В частности, как обстоят дела с коэффициентами.
Avgust
Спасибо Вам еще раз, Вы мне очень помогли.

ivashenko, мне приятно, что хоть чем-то помог. Сам обожаю подобные задачи. Попытаюсь выкроить время и разобраться в английских текстах. Сейчас, как назло, меня завалили работой. Скорее всего завтра утром посмотрю. Так что не прощаемся в этой теме.

Кроме Вашего:
для [math]n-1[/math] строки знаменатель дроби равен [math]n![/math] и этому же равна сумма коэффициентов в числителе,
обнаружил, что сумма знакочередующегося ряда из коэффициентов полинома равна нулю!
Например:

[math]1-15+85-225+274-120=0[/math]

[math]1-28+322-1960+6769-13132+13068-5040=0[/math]

sergebsl
К сожалению, эти числа Бернулли вычислять трудней, чем коэффициенты полинома в задаче этой темы.
А нам нужно найти способ максимально простых вычислений.

Да, интересное свойство. А я пока больше ничего не обнаружил. Но у меня возник ряд вопросов и сомнений.

Я пользовался как-раз этим сайтом при вычислении полиномов, это действительно достаточно громоздко.

ivashenko
Думаю так: либо поискать в литературе четкий алгоритм расчета параметров полинома, либо раскрутить таблицу, аналогичную Паскалевой, что я привел. Рекуррентно делать просто, но вот в общем виде... Я попробовал и зарылся сразу же. Тут нужна голова настоящего математика.

Раскрутка таблицы меня не интересует - это работа компьютера.
У меня возникли вопросы к интегрированию и дифференцированию из-за чего собственно я и затеял тему и поиски общей формулы. Так рассмотрим строку 2 исходной таблицы(треугольника Паскаля), обозначим переменную, пробегающую эти значения: [math]x[/math]

Сумма членов этой строки [math]\sum x[/math] задается формулой: [math]\frac{x^2+x}{2}[/math]

Почему тогда неопределенный интеграл[math]\int{x}dx=\frac{x^2}{2}+C[/math], куда делся [math]\frac{x}{2}[/math]?

Аналогично будем иметь расхождение и для высших степеней. Мне кажется, что формулу для первообразной степенной функции обрезали и неопределенный интеграл должен выражаться как: [math]\int xdx = \frac{x^2+x}{2}[/math]. Возможно, даже скорее всего, я заблуждаюсь, но хотелось бы во всём этом разобраться и убедиться путем логических рассуждений.

Так почему и в чем я ошибаюсь? Прошу популярно и доходчиво объяснить.