Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2017, 00:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Тут задействованы биноминальные коэффициенты. Как и почему все верно получается - мне неведомо


А кто составлял программу? Или это так Maple сам поработал?

Avgust писал(а):
А через числа Стриллинга вообще получается таблица, что на моем рисунке:


А формулы у Вас есть не в программном коде, а в обычном виде? Числа Стирлинга бывают вроде 2-ч типов. Это через первого типа?

P.S. Посмотрел,Числа Стирлинга первого рода и есть коэффициенты нашего полинома, а сам полином называется убывающим факториалом или символом Похгаммера.

Числа Стирлинга первого рода, т.е. наши коэффициенты, задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами и обозначаются [math]\left[\!\begin{aligned}
& n \\
& k
\end{aligned}\right].[/math]

Не рекуррентных формул для этих чисел похоже пока еще нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2017, 00:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как всё интересно переплетается в треугольнике Паскаля: биномиальные коэффициенты, числа Фибоначчи, числа Бернулли, числа Стирлинга, обеих родов, степени двойки и наверное много еще чего. Просто кладезь закономерностей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2017, 03:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10125
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, это прямо пуп теории чисел. Первую строку получал банальным перебором, а вторая была по ссылке, которую давал два раза. http://oeis.org/A094638
Там спуститься вниз и слева крупными буквами написано MAPLE
Все-таки лучше поискать в литературе про этот полином. Наверняка ему и название дали, и изучили до косточек...
По ссылке https://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number#Basic_properties
в самом конце дана таблица с точно нашими граничными числами: слева - только единички, справа - факториалы. Но начинка другая. Есть и формулы. Может, это наведет на путь наш?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2017, 11:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Все-таки лучше поискать в литературе про этот полином. Наверняка ему и название дали, и изучили до косточек...


ivashenko писал(а):
сам полином называется убывающим факториалом или символом Похгаммера.

А коэффициенты в нём- числа Стирлинга первого рода. Не рекуррентной формулы для них не нашел. Эти коэффициенты тесно связаны с числами Стирлинга второго рода,которые в свою очередь связаны с числами Белла. Всё эти числа имеют комбинаторную трактовку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2017, 12:14 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10125
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Надо бы эту гармошку упростить и найти некую дробь, где куча факториалов, а возможно, и двойных факториалов.
Придется самим попробовать сконструировать формулу, подобную ф-ле для биноминальных коэфф.-тов, но значительно сложней. Или же раскрутить рекуррентную связь между коэффициентами:

[math]a_{n,k}=4\cdot a_{n-1,k-1}+a_{n-1,k}[/math]

с учетом граничных условий.
(n - номер строки, k - номер слагаемого, начиная от левой единицы)


Последний раз редактировалось Avgust 11 ноя 2017, 12:24, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2017, 12:19 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не представляю как эту гармошку можно упростить до аналитической формулы, задающей коэффициенты. Если бы это было просто, то это бы наверное уже сделали и такую формулу опубликовали бы. Возможно это вообще невозможно, также например как с аналитическим выражением для простых чисел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2017, 12:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10125
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я добавил мысль в последнем посте.
Теперь по поводу формулы. Мне думается, формулу открыли - просто мы не изучили литературу. Ведь программы же дают результаты! Причем, используя блок биноминальных коэффициентов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2017, 12:43 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно, что там числа Стирлинга ищутся в соответствии с формулой, приведенной по ссылке ниже, которая устанавливает связь между двумя числами с помощью биномиальных коэффициентов. Но может и действительно существует формула, задающая числа Стирлинга через параметры [math]n,k[/math], действительно необходимо лопатить литературу или спросить у знающих людей (если здесь никто не подскажет, то на dxdy.ru например, но я там спросить не могу), чтобы не тратить время на изобретение велосипеда.
Числа Стирлинга первого рода.
Наши коэффициенты - это количество перестановок с [math]k[/math] циклами в множестве из [math]n[/math] элементов. Там же приведен наглядный пример.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2017, 13:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10125
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне кажется, что Ваша ссылка - то, что нам нужно. Но я не МГУ заканчивал, и знаний явно не хватает, чтобы четко выудить формулу. :sorry:

Вроде все как у нас с Вами:

[math]c(n, k) = c(n-1, k-1) + (n-1) \cdot c(n-1, k) \qquad 0 < k < n.[/math]

В предыдущем посту у меня явно ляпа: надо не 4 , а (n-1).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2017, 13:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
В предыдущем посту у меня явно ляпа: надо не 4 , а (n-1).


Ага, и умножить на второй множитель, а не на первый.

В общем, судя по всему нет аналитических выражений для этих коэффициентов, потому как числа Стирлинга второго рода устроены более просто и числа Стирлинга первого рода комбинаторно следуют из них, но даже для чисел Стирлинга второго рода нет такой формулы, нет её и для количества разбиений(только асимптотические приближения), а вот для чисел Белла есть формула Добинского. Так что можно смело ломать копья, такого велосипеда еще не изобрели.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Простые множители чисел треугольника Паскаля

в форуме Теория чисел

ley

2

446

15 янв 2014, 23:41

Площадь улитки Паскаля

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Olga Aleshina

8

1144

11 апр 2013, 14:42

Построение (черчение) улитки Паскаля r=2+cos(f)

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

nikita123

0

1122

25 апр 2012, 09:29

Степень суммы и треугольник Паскаля

в форуме Алгебра

Valshe

7

219

26 июл 2015, 21:40

Задачка

в форуме Атомная и Ядерная физика

jdit000

0

214

07 дек 2014, 13:23

Задачка

в форуме Алгебра

Sydestro

8

153

26 сен 2016, 21:04

Задачка

в форуме Теория вероятностей

us-han

0

59

18 янв 2017, 16:06

Задачка

в форуме Геометрия

tehnikss

5

188

09 май 2015, 09:36

Задачка на ДСВ

в форуме Теория вероятностей

Wersel

4

320

17 апр 2013, 23:19

Задачка

в форуме Дифференциальное исчисление

helpmeplz

5

386

16 фев 2013, 23:16


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved