Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 3 из 5 |
[ Сообщений: 49 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivashenko |
|
|
Получается [math]\sum (x-0.5)= \int xdx= \frac{x^2}{2}[/math] при целых [math]x[/math]. Я глубоко заблуждался в такой ерунде. |
||
Вернуться к началу | ||
sergebsl |
|
|
Avgust писал(а): sergebsl К сожалению, эти числа Бернулли вычислять трудней, чем коэффициенты полинома в задаче этой темы. А нам нужно найти способ максимально простых вычислений. А Вы внимательно читали статью? Там не только через числа Бернулли находятся коэффициенты. Также есть и рекурентные формулы. То, что вы предложили это и есть рекурентное задание последовательности. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Последовательности, которые рассматриваются там и последовательности, рассматриваемые здесь - это не одно и то же, хотя между ними и существует взаимосвязь, с помощью которой я изначально и строил полиномы, пользуясь как-раз информацией с того сайта, но предложенный Avgust-ом метод оказался намного эффективнее.
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Avgust
Знакопеременный ряд с нашими коэффициентами возникает если вместо выражения: [math]\frac{(x+0)(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n-1)}{n!}[/math] рассмотреть полином: [math]\frac{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)...}{n!}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
ivashenko
Да, это верно. Просто удивительно само сочетание числовых значений коэффициентов. При малом числе n даже можно найти эти значения классически через систему уравнений. Наверняка существуют еще удивительные свойства, позволяющие систему расширять. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Кстати,коэффициенты полиномов выражающих суммы степеней натуральных чисел выражаются формулой:
[math]a(i,k)=\frac{B_i }{i!}\prod\limits_{j=0}^{i-2}(k-j)\quad i\ge 2[/math] Очень похоже на формулу для знакопеременного ряда с нашими коэффициентами. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
А вот и еще одно замечательное свойство:
Пусть имеем полином: [math]x^3+3x^2+2x[/math] Подставляя последовательно натуральные числа вместо [math]x[/math], получаем значения из четвертой строки в исходном треугольнике Паскаля. Теперь рассмотрим полином с такими же, только знакопеременнымы коэффициентами: [math]x^3-3x^2+2x[/math] Подставляя последовательно натуральные числа вместо [math]x[/math], получаем два нуля и затем значения из четвертой строки в исходном треугольнике Паскаля. Т.е. оба эти полинома дают одинаковый ряд значений но при различных x. Для следующего простого и знакопеременного полинома всё то же самое, только получаем уже значения 5-й строки и нуля в знакопеременном полиноме уже 3. И т.д. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
надо бы найти простую связь с биноминальными коэффициентами. Я пытаюсь - пока никак не удается.
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Avgust писал(а): надо бы найти простую связь с биноминальными коэффициентами. Я пытаюсь - пока никак не удается. В поисках этой связи удалось установить связь биномиальных коэффициентов и чисел Фибоначчи: Если биномиальные коэффициенты выразить с помощью знакопеременных полиномов и свести их в таблицу, учитывая нули: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 А суммы элементов в столбцах такой таблицы будут представлять собой степени двойки. P.S. Посмотрел, похоже всё это известно. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Мне удалось в Maple организовать выход нужных коэффициентов (на знаки внимание не обращать):
seq(seq(coeff(expand(factorial(n)*binomial(x, n)), x, j), j = n .. 1, -1), n = 1 .. 8); Результат: 1, 1, -1, 1, -3, 2, 1, -6, 11, -6, 1, -10, 35, -50, 24, 1, -15, 85, -225, 274, -120, 1, -21, 175, -735, 1624, -1764, 720, 1, -28, 322, -1960, 6769, -13132, 13068, -5040 Тут задействованы биноминальные коэффициенты. Как и почему все верно получается - мне неведомо. Но если логику понять, то есть надежда получить алгебраическую формулу. А через числа Стриллинга вообще получается таблица, что на моем рисунке: restart; with(combinat); T := proc (n, k) options operator, arrow; abs(combinat:-stirling1(n, n+1-k)) end proc; for n to 8 do seq(T(n, k), k = 1 .. n) end do: 1 |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 След. | [ Сообщений: 49 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать свойство треугольника Паскаля
в форуме Алгебра |
1 |
280 |
22 ноя 2017, 23:47 |
|
Углы между медианами треугольника, сложная задачка
в форуме Геометрия |
1 |
203 |
15 июл 2021, 01:42 |
|
Пирамида паскаля?
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
7 |
530 |
08 мар 2018, 13:12 |
|
Купол Паскаля
в форуме Размышления по поводу и без |
1 |
389 |
11 окт 2019, 14:03 |
|
Улитка Паскаля | 3 |
418 |
13 сен 2019, 14:08 |
|
Степень суммы и треугольник Паскаля
в форуме Алгебра |
7 |
544 |
26 июл 2015, 20:40 |
|
Найти площадь огр улиткой паскаля
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
141 |
18 май 2022, 13:14 |
|
Площадь поверхности при вращении улитки Паскаля
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
276 |
31 май 2020, 12:53 |
|
Треугольник Паскаля и степени натуральных,найти коэффициенты
в форуме Размышления по поводу и без |
32 |
694 |
24 окт 2022, 16:37 |
|
Задачка
в форуме Алгебра |
2 |
166 |
16 май 2021, 16:13 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |