Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 02:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3978
Cпасибо сказано: 307
Спасибо получено:
283 раз в 266 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уже третий день ломаю голову над возможно тривиальной задачкой:
рассмотрим треугольник Паскаля в такой записи:

1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1,   1
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35, 45
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120
1, 5, 15, 35, 70, 126, 252
1, 6, 21, 56, 126, 252
1, 7, 28, 84, 210
1, 8, 36, 120
1, 9, 45
1, 10
1


Во второй строке у нас отображены номера столбцов, обозначим значение номера столбца как [math]x[/math].
Номер строки обозначим [math]n[/math]. Для каждой строки необходимо найти формулу, дающую значение в треугольнике Паскаля в зависимости от [math]x[/math].

Найденные мной примеры:

строка 1: [math]x^0[/math];

строка 2: [math]x^1[/math];

Строка 3: [math]\frac{x^2+x}{2}[/math];

Строка 4: [math]\frac{x^3+3x^2+2x}{6}[/math];

Строка 5: [math]\frac{x^4+6x^3+11x^2+6x}{24}[/math];

Строка 6: [math]\frac{x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x}{120}[/math];

................................................................................................
Необходимо найти общий вид полиномов для произвольной строки. Т.е. формулу, обобщающую эти формулы.
Полиномы должны быть именно в таком виде, т.е. представлять собой сумму степеней номеров столбцов с коэффициентами.

Я нашел громоздкий рекуррентный способ построения таких полиномов с помощью чисел Бернулли, но может быть есть более простой способ, почти уверен, что есть. Или может быть кто- нибудь знает сразу обобщенную формулу? Подскажите куда копать? Нужна именно обобщающая формула полиномов именно такого вида.

Увиденные закономерности в формулах:

Очевидно знаменатель представляет собой [math](n-1)![/math].
Последний коэффицент в каждой формуле- это [math](n-2)![/math].
Первый коэффициент всегда [math]1[/math].
Второй коэффициент [math]\sum{n-2}[/math].
Во всех формулах при всех степенях коэффициенты скорее всего ненулевые.
Сумма всех числителей коэффициентов в любой такой формуле равна знаменателю этих коэффициентов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 02:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А Вы могли бы продолжить таблицу до 20 строк?

1
1 1
1 3 2
1 6 11 6
1 10 35 50 24
.........................

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 03:12 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3978
Cпасибо сказано: 307
Спасибо получено:
283 раз в 266 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мог бы, но уйдет очень много времени, которым я к сожалению не очень располагаю. Могу описать способ, которым можно продолжать эту таблицу сколь угодно долго, но он достаточно громоздкий при ручном вычислении.

1. Последнюю формулу заключаем в скобки и ставим перед ней знак суммы.
2. Затем замечаем, что этот знак суммы можно заменить на знаки сумм перед каждым слагаемым, так и поступаем.
3. Выносим коэффициенты за знаки сумм, а сами суммы степеней расписываем через числа Бернулли.
4. Приводим подобные члены и получаем следующую формулу.
5. Подставляем эту формулу в пункт 1 алгоритма.

Мне намекали на dxdy, что можно решить задачу представив треугольник Паскаля через биномиальные коэффициенты, но я не увидел как это можно сделать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 03:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Технология вычисления элементарная!

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 03:56 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3978
Cпасибо сказано: 307
Спасибо получено:
283 раз в 266 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, почти как в треугольнике Паскаля. Как я не догадался, а мучился через Бернулли. Вы просто увидели закономерность или пришли к ней аналитически?

Я был уверен, что есть элементарное решение, но не догадался рассмотреть такой треугольник.

И как теперь из него выудить обобщенную формулу, подставив в которую [math]n[/math] и [math]x[/math], получим формулу для значений n-ной строки?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 04:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, это не проще, чем биноминальные коэффициенты. Точнее, должно быть нечто похожее. Ведь отличие - только в добавлении n в качестве сомножителя левого параметра. Кроме того, треугольник несимметричный и правая граница - факториальная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 04:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3978
Cпасибо сказано: 307
Спасибо получено:
283 раз в 266 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
И как теперь из него выудить обобщенную формулу, подставив в которую n и x, получим формулу для значений n-ной строки?

Поясню, что я имею ввиду:

[math]\frac{x^{n-1}+\frac{(n-2)^2+(n-2)}{2}x^{n-2}+.......+(n-2)!x}{(n-1)!}[/math]

Как выразить остальные коэффициенты при степенях [math]x[/math] через [math]n[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 06:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko
Желание Ваше понятно. Но тогда попробуйте такую же идею воплотить для треугольника Паскаля. Ведь он намного проще. Если удастся, то и более сложную Вашу задачу можно штурмовать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 10:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это есть последовательность http://oeis.org/A094638

Больше формул, чем там уже не найти.

Вот как Ваши полиномы получаются:

[math]\frac{x}{n!}\prod \limits_{k=1}^n(x+k)[/math]

Например, при n=4:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F(4%2B1)!*product((x%2Bk),k%3D1..4)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Задачка из треугольника Паскаля
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 12:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ой, забыл единичку добавить:
[math]\frac{x}{(n+1)!}\prod \limits_{k=1}^n(x+k)[/math]

Например, при n=4:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F(4%2B1)!*product((x%2Bk),k%3D1..4)[/quote]

Ну, тут надо еще привести в соответствие со строками. У Вас же это шестая строка, а у меня на рисунке пятая.
Это уже малюсенькая проблема.
Для моей схемы:

[math]\frac{x}{n!}\prod \limits_{k=1}^{n-1}(x+k)[/math]

Тогда при n=5

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F(5)!*product((x%2Bk),k%3D1..5-1)

Проверим для n=8:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F(8)!*product((x%2Bk),k%3D1..8-1)

Все верно!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
ivashenko
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать свойство треугольника Паскаля

в форуме Алгебра

argus

1

108

23 ноя 2017, 00:47

Простые множители чисел треугольника Паскаля

в форуме Теория чисел

ley

2

485

15 янв 2014, 23:41

Пирамида паскаля?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

+-30

7

180

08 мар 2018, 14:12

Площадь улитки Паскаля

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Olga Aleshina

8

1349

11 апр 2013, 14:42

Степень суммы и треугольник Паскаля

в форуме Алгебра

Valshe

7

287

26 июл 2015, 21:40

Задачка

в форуме Атомная и Ядерная физика

jdit000

0

273

07 дек 2014, 13:23

Задачка

в форуме Алгебра

spins06

2

243

22 авг 2015, 22:24

задачка по ТВ

в форуме Теория вероятностей

julijuls

2

246

27 май 2013, 23:00

Задачка

в форуме Алгебра

Ingvu

7

235

23 сен 2015, 11:54

Задачка

в форуме Алгебра

Lyuda

5

117

15 фев 2017, 02:07


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved