Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 5 |
[ Сообщений: 49 ] | На страницу 1, 2, 3, 4, 5 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivashenko |
|
|
рассмотрим треугольник Паскаля в такой записи: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 Во второй строке у нас отображены номера столбцов, обозначим значение номера столбца как [math]x[/math]. Номер строки обозначим [math]n[/math]. Для каждой строки необходимо найти формулу, дающую значение в треугольнике Паскаля в зависимости от [math]x[/math]. Найденные мной примеры: строка 1: [math]x^0[/math]; строка 2: [math]x^1[/math]; Строка 3: [math]\frac{x^2+x}{2}[/math]; Строка 4: [math]\frac{x^3+3x^2+2x}{6}[/math]; Строка 5: [math]\frac{x^4+6x^3+11x^2+6x}{24}[/math]; Строка 6: [math]\frac{x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x}{120}[/math]; ................................................................................................ Необходимо найти общий вид полиномов для произвольной строки. Т.е. формулу, обобщающую эти формулы. Полиномы должны быть именно в таком виде, т.е. представлять собой сумму степеней номеров столбцов с коэффициентами. Я нашел громоздкий рекуррентный способ построения таких полиномов с помощью чисел Бернулли, но может быть есть более простой способ, почти уверен, что есть. Или может быть кто- нибудь знает сразу обобщенную формулу? Подскажите куда копать? Нужна именно обобщающая формула полиномов именно такого вида. Увиденные закономерности в формулах: Очевидно знаменатель представляет собой [math](n-1)![/math]. Последний коэффицент в каждой формуле- это [math](n-2)![/math]. Первый коэффициент всегда [math]1[/math]. Второй коэффициент [math]\sum{n-2}[/math]. Во всех формулах при всех степенях коэффициенты скорее всего ненулевые. Сумма всех числителей коэффициентов в любой такой формуле равна знаменателю этих коэффициентов. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
А Вы могли бы продолжить таблицу до 20 строк?
1 1 1 1 3 2 1 6 11 6 1 10 35 50 24 ......................... |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Мог бы, но уйдет очень много времени, которым я к сожалению не очень располагаю. Могу описать способ, которым можно продолжать эту таблицу сколь угодно долго, но он достаточно громоздкий при ручном вычислении.
1. Последнюю формулу заключаем в скобки и ставим перед ней знак суммы. 2. Затем замечаем, что этот знак суммы можно заменить на знаки сумм перед каждым слагаемым, так и поступаем. 3. Выносим коэффициенты за знаки сумм, а сами суммы степеней расписываем через числа Бернулли. 4. Приводим подобные члены и получаем следующую формулу. 5. Подставляем эту формулу в пункт 1 алгоритма. Мне намекали на dxdy, что можно решить задачу представив треугольник Паскаля через биномиальные коэффициенты, но я не увидел как это можно сделать. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Технология вычисления элементарная!
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
Да, почти как в треугольнике Паскаля. Как я не догадался, а мучился через Бернулли. Вы просто увидели закономерность или пришли к ней аналитически?
Я был уверен, что есть элементарное решение, но не догадался рассмотреть такой треугольник. И как теперь из него выудить обобщенную формулу, подставив в которую [math]n[/math] и [math]x[/math], получим формулу для значений n-ной строки? |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Ну, это не проще, чем биноминальные коэффициенты. Точнее, должно быть нечто похожее. Ведь отличие - только в добавлении n в качестве сомножителя левого параметра. Кроме того, треугольник несимметричный и правая граница - факториальная.
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
ivashenko писал(а): И как теперь из него выудить обобщенную формулу, подставив в которую n и x, получим формулу для значений n-ной строки? Поясню, что я имею ввиду: [math]\frac{x^{n-1}+\frac{(n-2)^2+(n-2)}{2}x^{n-2}+.......+(n-2)!x}{(n-1)!}[/math] Как выразить остальные коэффициенты при степенях [math]x[/math] через [math]n[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
ivashenko
Желание Ваше понятно. Но тогда попробуйте такую же идею воплотить для треугольника Паскаля. Ведь он намного проще. Если удастся, то и более сложную Вашу задачу можно штурмовать. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Это есть последовательность http://oeis.org/A094638
Больше формул, чем там уже не найти. Вот как Ваши полиномы получаются: [math]\frac{x}{n!}\prod \limits_{k=1}^n(x+k)[/math] Например, при n=4: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F(4%2B1)!*product((x%2Bk),k%3D1..4) |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
Avgust |
|
|
Ой, забыл единичку добавить:
[math]\frac{x}{(n+1)!}\prod \limits_{k=1}^n(x+k)[/math] Например, при n=4: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F(4%2B1)!*product((x%2Bk),k%3D1..4)[/quote] Ну, тут надо еще привести в соответствие со строками. У Вас же это шестая строка, а у меня на рисунке пятая. Это уже малюсенькая проблема. Для моей схемы: [math]\frac{x}{n!}\prod \limits_{k=1}^{n-1}(x+k)[/math] Тогда при n=5 https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F(5)!*product((x%2Bk),k%3D1..5-1) Проверим для n=8: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F(8)!*product((x%2Bk),k%3D1..8-1) Все верно! |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
На страницу 1, 2, 3, 4, 5 След. | [ Сообщений: 49 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать свойство треугольника Паскаля
в форуме Алгебра |
1 |
280 |
22 ноя 2017, 23:47 |
|
Углы между медианами треугольника, сложная задачка
в форуме Геометрия |
1 |
203 |
15 июл 2021, 01:42 |
|
Пирамида паскаля?
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
7 |
530 |
08 мар 2018, 13:12 |
|
Купол Паскаля
в форуме Размышления по поводу и без |
1 |
389 |
11 окт 2019, 14:03 |
|
Улитка Паскаля | 3 |
418 |
13 сен 2019, 14:08 |
|
Степень суммы и треугольник Паскаля
в форуме Алгебра |
7 |
544 |
26 июл 2015, 20:40 |
|
Найти площадь огр улиткой паскаля
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
141 |
18 май 2022, 13:14 |
|
Площадь поверхности при вращении улитки Паскаля
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
276 |
31 май 2020, 12:53 |
|
Треугольник Паскаля и степени натуральных,найти коэффициенты
в форуме Размышления по поводу и без |
32 |
694 |
24 окт 2022, 16:37 |
|
Задачка
в форуме Алгебра |
2 |
166 |
16 май 2021, 16:13 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |