Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Признак делимости на 7 - доказательство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=55817
Страница 1 из 1

Автор:  kosogor [ 27 сен 2017, 10:39 ]
Заголовок сообщения:  Признак делимости на 7 - доказательство

О, мудрейшие!

Уже не первый день я пытаюсь найти ответ на вопрос, но не хватает математической гибкости - вынужден
обратиться к вам. Итак:
Существует несколько признаков делимости на 7 (см. на Википедии
https://ru.wikipedia.org/wiki/Признаки_делимости
).
Меня интересуют следующие из них:
Цитата:
Признак 1: число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7.

Цитата:
Признак 4: если удвоенное число единиц числа отнять от оставшегося числа десятков и результат будет делиться на 7, то число кратно 7.


Понятно, что в обиходе вторым из них гораздо легче пользоваться, чем первым (так как от многозначного числа десятков гораздо проще
отнять удвоенное число единиц, чем умножать многозначное число десятков на 3). Пример рекуррентного применения
второго признака приведён по ссылке
Цитата:
http://geometriyaprosto.ru/priznaki-delimosti-na-7-i-13/


Я разобрался, как из общего признака делимости Паскаля доказывается первый из приведённых признаков делимости на 7:
сначала находятся остатки от деления степеней 10 на 7 (1,3,2,6,4,5,1,3,2, ... далее повторяются), а затем сразу получается
первый признак делимости (r0=1, r1=3). (при этой я пользовался книгами Виноградова "Основы теории чисел",
Воробьева "Признаки делимости", H.Davenport "Высшая арифметика. Введение в теорию чисел")

А как доказать второй, более удобный признак делимости (или вывести его из первого или из общего признака Паскаля) ??? Интуитивно
я предполагаю/догадываюсь, что здесь дело связано со сдвигом кольца вычетов, т.е., так как число 5 сравнимо с -2 по модулю 7,
то второй признак делимости "если удвоенное число единиц числа отнять от оставшегося числа десятков и результат будет делиться на 7, то число кратно 7"
эквивалентен признаку делимости "если умноженное на 5 число единиц числа прибавить к оставшемуся числу
десятков и результат будет делиться на 7, то число кратно 7" (т.е. r0=5, r1=1).
Но как это доказать/вывести ?

P.S. Извините, что пока не использую math/TEX при написании - спросить хочется очень, а освоение требует некоторого времени.
Исправлюсь! :)

Автор:  swan [ 27 сен 2017, 11:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признак делимости на 7 - доказательство

Первый признак
[math]10a+b=(3a+b)+7a[/math]
Второй признак
[math]10a+b=3(a-2b)+7(a+b)[/math]

Автор:  kosogor [ 30 сен 2017, 18:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признак делимости на 7 - доказательство

Уважаемый swan,

Благодарю, за ответ.

По поводу первого признака мне понятно:
[math]10a+b=(3a+b)+7a => (10a+b) - (3a+b) =7a \equiv 0\pmod{ 7 } => (10a+b) \equiv (3a+b)\pmod{ 7 }[/math]

Аналогично по второму признаку можно написать следующее:
[math]10a+b=3(a-2b)+7(a+b) => (10a+b) - 3(a-2b) =7(a+b) \equiv 0\pmod{ 7 } => (10a+b) \equiv 3(a-2b)\pmod{ 7 }[/math]

Но ведь это не совсем [math](10a+b) \equiv (a-2b)\pmod{ 7 }[/math]

Как с тройкой быть в правой части ?

Автор:  Booker48 [ 30 сен 2017, 19:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признак делимости на 7 - доказательство

swan писал(а):
[math]10a+b=3(a−2b)+7(a+b)[/math]

Отсюда следует, что число слева делится на [math]7[/math] если и только если на [math]7[/math] делится [math]a-2b[/math].

Автор:  kosogor [ 01 окт 2017, 17:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признак делимости на 7 - доказательство

Спасибо, понятно.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/