Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Признак делимости на 7 - доказательство
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 10:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2017, 09:03
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
О, мудрейшие!

Уже не первый день я пытаюсь найти ответ на вопрос, но не хватает математической гибкости - вынужден
обратиться к вам. Итак:
Существует несколько признаков делимости на 7 (см. на Википедии
https://ru.wikipedia.org/wiki/Признаки_делимости
).
Меня интересуют следующие из них:
Цитата:
Признак 1: число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7.

Цитата:
Признак 4: если удвоенное число единиц числа отнять от оставшегося числа десятков и результат будет делиться на 7, то число кратно 7.


Понятно, что в обиходе вторым из них гораздо легче пользоваться, чем первым (так как от многозначного числа десятков гораздо проще
отнять удвоенное число единиц, чем умножать многозначное число десятков на 3). Пример рекуррентного применения
второго признака приведён по ссылке
Цитата:
http://geometriyaprosto.ru/priznaki-delimosti-na-7-i-13/


Я разобрался, как из общего признака делимости Паскаля доказывается первый из приведённых признаков делимости на 7:
сначала находятся остатки от деления степеней 10 на 7 (1,3,2,6,4,5,1,3,2, ... далее повторяются), а затем сразу получается
первый признак делимости (r0=1, r1=3). (при этой я пользовался книгами Виноградова "Основы теории чисел",
Воробьева "Признаки делимости", H.Davenport "Высшая арифметика. Введение в теорию чисел")

А как доказать второй, более удобный признак делимости (или вывести его из первого или из общего признака Паскаля) ??? Интуитивно
я предполагаю/догадываюсь, что здесь дело связано со сдвигом кольца вычетов, т.е., так как число 5 сравнимо с -2 по модулю 7,
то второй признак делимости "если удвоенное число единиц числа отнять от оставшегося числа десятков и результат будет делиться на 7, то число кратно 7"
эквивалентен признаку делимости "если умноженное на 5 число единиц числа прибавить к оставшемуся числу
десятков и результат будет делиться на 7, то число кратно 7" (т.е. r0=5, r1=1).
Но как это доказать/вывести ?

P.S. Извините, что пока не использую math/TEX при написании - спросить хочется очень, а освоение требует некоторого времени.
Исправлюсь! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Признак делимости на 7 - доказательство
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 11:12 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3261
Cпасибо сказано: 55
Спасибо получено:
708 раз в 638 сообщениях
Очков репутации: 202

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первый признак
[math]10a+b=(3a+b)+7a[/math]
Второй признак
[math]10a+b=3(a-2b)+7(a+b)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Признак делимости на 7 - доказательство
СообщениеДобавлено: 30 сен 2017, 18:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2017, 09:03
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемый swan,

Благодарю, за ответ.

По поводу первого признака мне понятно:
[math]10a+b=(3a+b)+7a => (10a+b) - (3a+b) =7a \equiv 0\pmod{ 7 } => (10a+b) \equiv (3a+b)\pmod{ 7 }[/math]

Аналогично по второму признаку можно написать следующее:
[math]10a+b=3(a-2b)+7(a+b) => (10a+b) - 3(a-2b) =7(a+b) \equiv 0\pmod{ 7 } => (10a+b) \equiv 3(a-2b)\pmod{ 7 }[/math]

Но ведь это не совсем [math](10a+b) \equiv (a-2b)\pmod{ 7 }[/math]

Как с тройкой быть в правой части ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Признак делимости на 7 - доказательство
СообщениеДобавлено: 30 сен 2017, 19:21 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 882
Cпасибо сказано: 55
Спасибо получено:
160 раз в 146 сообщениях
Очков репутации: 26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
[math]10a+b=3(a−2b)+7(a+b)[/math]

Отсюда следует, что число слева делится на [math]7[/math] если и только если на [math]7[/math] делится [math]a-2b[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Признак делимости на 7 - доказательство
СообщениеДобавлено: 01 окт 2017, 17:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2017, 09:03
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, понятно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Олимпиадная задача 7 класс на признак делимости?

в форуме Алгебра

Yura_lion

2

253

26 окт 2014, 23:58

Доказательство делимости.

в форуме Алгебра

Roman4ik

1

256

10 май 2012, 19:44

Доказательство теоремы "Признак сравнения"

в форуме Ряды

Empire1411

6

792

08 сен 2012, 18:00

Признак Даламбера. признак Лейбница.

в форуме Ряды

Koxypo

3

350

25 ноя 2013, 11:52

Признаки делимости

в форуме Алгебра

resation

3

221

19 мар 2014, 16:17

О делимости числа беспорядков

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Boris Skovoroda

1

110

31 дек 2016, 18:51

Свойства делимости чисел

в форуме Алгебра

Benya-a

2

238

12 окт 2012, 22:52

Как строится граф отношения делимости

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ujf

7

558

02 май 2013, 11:59

Доказать или опровергнуть утверждение о делимости

в форуме Теория чисел

johnson

8

162

24 дек 2017, 03:31

Аликвотные дроби и свойства делимости

в форуме Алгебра

raaaaawwr

2

261

21 дек 2015, 01:36


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved