Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уточнить закономерность
СообщениеДобавлено: 31 авг 2017, 01:08 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Факториал натурального числа [math]n>1[/math] является произведением [math]\prod\limits_{p_i<n}p_i^{k_j}[/math], где [math]p_i[/math]- факторы числа [math]n![/math], а [math]k_j[/math]- некоторые степени этих факторов.

Рассмотрим следующие представления:
[math]2!=2^1=2(1)[/math]
[math]3!=2^1\cdot3^1=6(2)[/math]
[math]4!=2^3\cdot3^1=24(4)[/math]
[math]5!=2^3\cdot3^1\cdot5^1=120(5)[/math]
[math]6!=2^4\cdot3^2\cdot5^1=720(7)[/math]
[math]7!=2^4\cdot3^2\cdot5^1\cdot7^1=5040(8)[/math]
[math]8!=2^7\cdot3^2\cdot5^1\cdot7^1=40320(11)[/math]
[math]9!=2^7\cdot3^4\cdot5^1\cdot7^1=362880(13)[/math]
[math]10!=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7^1=3628800(15)[/math]
[math]11!=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1=39916800(16)[/math]
[math]12!=2^{10}\cdot3^5\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1=479001600(19)[/math]
[math]13!=2^{10}\cdot3^5\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1\cdot13^1=6227020800(20)[/math]
[math]14!=2^{11}\cdot3^5\cdot5^2\cdot7^2\cdot11^1\cdot13^1=87178291200(22)[/math]
[math]15!=2^{11}\cdot3^6\cdot5^3\cdot7^2\cdot11^1\cdot13^1=1307674368000(24)[/math]

Отсюда видно закономерность: двойка в факторизации [math]n![/math] меняет свою степень через каждые 2 представления, тройка - через 3, пятерка - через 5, семерка через 7,......, т.е. фактор меняет свою степень через количество представлений равное ему . Доказать, что закономерность выполняется для всех [math]n![/math] и всех их факторов. Уточнить, как меняются степени факторов в данных представлениях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уточнить закономерность
СообщениеДобавлено: 31 авг 2017, 13:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3186
Cпасибо сказано: 55
Спасибо получено:
696 раз в 629 сообщениях
Очков репутации: 201

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]\nu _p(n)[/math] - максимальная степень [math]p[/math], которая делит [math]n![/math], то

[math]\nu _p(n) = \left\lfloor{ \frac n p }\right\rfloor +\left\lfloor{ \frac n {p^2} }\right\rfloor + \left\lfloor{ \frac n {p^3} }\right\rfloor + \ldots[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Уточнить закономерность
СообщениеДобавлено: 31 авг 2017, 14:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan
Большое спасибо.
Откуда такая интересная формула, известна ли она и что должно стоять в показателях степени знаменателей дальше, простые или натуральные?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уточнить закономерность
СообщениеДобавлено: 31 авг 2017, 16:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Показатели степени судя по всему натуральные.
И кстати, как можно обосновать саму закономерность с помощью данной формулы или без неё? Т.е. как объяснить, что показатель степени простого меняется через количество представлений, равное этому простому?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уточнить закономерность
СообщениеДобавлено: 01 сен 2017, 17:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё, дошло наконец. Поскольку
[math]\nu _p(n) = \left\lfloor{ \frac n p }\right\rfloor +\left\lfloor{ \frac n {p^2} }\right\rfloor + \left\lfloor{ \frac n {p^3} }\right\rfloor + \ldots[/math], то если [math]n[/math] кратно [math]p[/math], тогда [math]\left\lfloor{ \frac {n+1} p }\right\rfloor, \left\lfloor{ \frac {n+2} p }\right\rfloor ,\left\lfloor{ \frac {n+3} p }\right\rfloor ,......, \left\lfloor{ \frac {n+p-1} p }\right\rfloor[/math] имеют одинаковые значения. Также и все последующие члены могут сменить свое значение соответственно через период в [math]p^2, p^3, .......,[/math] представлений, т.к. [math]p^2, p^3, .......,[/math] кратно [math]p[/math], то смена значения за счет более высоких членов разложения попадает в те же точки, в которых происходит смена значения за счет первого члена разложения, т.е. периодичность не выходит за рамки периода [math]p[/math], а дополнительные единицы добавляются в точках [math]n=p^k[/math], которые укладываются в период [math]p[/math], т.е. повышение степени в них может происходить не на 1, а на несколько 1. Эта функция похоже отражает какие-то уравнения. Прошу прощения за свое косноязычие и безграмотность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уточнить закономерность
СообщениеДобавлено: 01 сен 2017, 20:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще одна закономерность из этих данных:

[math]n-\nu_2(n)=1 , \forall n=2^k[/math]

[math]\nu_p(n)=\left\lfloor{ \frac{n}{p-1} }\right\rfloor , \forall n=p^k[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Отделить и уточнить методом Ньютона корень уравнения

в форуме Численные методы

gilyth

15

1139

30 мар 2012, 13:46

Как отделить корни аналитически и уточнить методом итераций

в форуме Численные методы

Antonio_O

4

1491

13 июн 2013, 11:01

Закономерность в числах

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Roman08

0

65

23 апр 2017, 12:37

Закономерность в числах

в форуме Размышления по поводу и без

Roman08

8

140

23 апр 2017, 01:25

Известна ли закономерность?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Sanny7

7

114

27 мар 2017, 15:45

Найти закономерность

в форуме Ряды

salainenkappale

2

195

26 окт 2014, 20:53

Не могу найти закономерность

в форуме Алгебра

pinkVeil

3

80

15 авг 2017, 15:04

Найдите закономерность чисел в строках

в форуме Алгебра

VICTORQQQQ

0

44

11 апр 2017, 21:48

Найти закономерность в последовательности чисел

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

vrr123

1

972

23 мар 2012, 19:17

Закономерность в рядах простых чисел

в форуме Теория чисел

Matematik

2

79

09 дек 2017, 10:14


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved