Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача о четырех квадратах
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 22:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 июл 2017, 22:51
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день.
Подскажите, пожалуйста, известны ли формулы, дающие полное целочисленное решение уравнения (желательно с доказательством, что представлены все решения):
[math]x^2+y^2=z^2+w^2[/math]
Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех квадратах
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 23:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде-бы разложение числа на сумму 2-х квадратов единственно. Или это разложение простого числа на сумму 2-х квадратов единственно, не помню.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех квадратах
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 23:59 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Однако да, единственно представление в виде суммы 2-х квадратов только для простых чисел.

[math]4^2+7^2=8^2+3^2[/math]


Возможно Вам поможет это: http://info-referat.ru/Predstavlenie-chisel-v-vide-summih.html

Там описан способ разложения с помощью комплексных чисел.

А в "Кванте" более полно - как найти количество разложений числа на сумму 2-х квадратов и многое другое:

http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/kv0399senderov.pdf

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех квадратах
СообщениеДобавлено: 01 авг 2017, 00:32 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
21 сен 2013, 00:46
Сообщений: 504
Cпасибо сказано: 113
Спасибо получено:
122 раз в 99 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
[math]4^2+7^2=8^2+3^2[/math]
ivashenko
Равенства тут нет. Может, чего другое имели в виду?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех квадратах
СообщениеДобавлено: 01 авг 2017, 00:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
ivashenko писал(а):
[math]4^2+7^2=8^2+3^2[/math]
ivashenko
Равенства тут нет. Может, чего другое имели в виду?


Да, конечно:
[math]4^2+7^2=8^2+1^2[/math]


Насколько я понял, в общем случае решений может быть бесконечно много. Для заданного числа количество разложений на сумму двух квадратов определяется формулой Дирихле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех квадратах
СообщениеДобавлено: 01 авг 2017, 10:17 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 933
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
365 раз в 287 сообщениях
Очков репутации: 132

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
qwertyqaz писал(а):
Подскажите, пожалуйста, известны ли формулы, дающие полное целочисленное решение уравнения

А сами вывести не сможете? Ведь данное уравнение очевидным образом сводится к [math]AB=CD[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех квадратах
СообщениеДобавлено: 01 авг 2017, 14:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Ведь данное уравнение очевидным образом сводится к [math]AB=CD[/math]


Что-то очи мои не видят этого образа :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех квадратах
СообщениеДобавлено: 01 авг 2017, 16:27 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
21 сен 2013, 00:46
Сообщений: 504
Cпасибо сказано: 113
Спасибо получено:
122 раз в 99 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Что-то очи мои не видят этого образа
ivashenko
А что тут видеть?
Перенесите [math]y^2[/math] в правую часть исходного уравнения, а [math]z^2[/math] - в левую. И приходите к той форме, которую рекомендовал Shadows.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех квадратах
СообщениеДобавлено: 01 авг 2017, 16:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x^2-w^2=z^2-y^2[/math]
[math](x+w)(x-w)=(z+y)(z-y)[/math]

А дальше куда копать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о четырех квадратах
СообщениеДобавлено: 22 авг 2017, 22:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 июл 2017, 22:51
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В дополнение к основной теме. Прочитал в Викиипедии в статье о пифагоровых тройках (https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагорова_тройка) про пифагоровы n-наборы. Там приводится формула для пятерки квадратов:

[math](a^2-b^2-c^2-d^2)^2+(2ab)^2+(2ac)^2+(2ad)^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2[/math]
В то же время понятно, что данная формула дает не все решения, поскольку, например: [math]1^2+3^2+3^2+9^2=10^2[/math].
Может быть кто-то подскажет как вывести формулу, дающую все решения для пифагоровой пятерки?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача о четырех кубах

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Avgust

4

766

16 апр 2013, 23:26

Задача о четырёх зайцах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

2

123

16 июл 2017, 12:29

Система из четырех неизвестных

в форуме Алгебра

Bonaqua

6

219

24 май 2015, 03:14

Симметрическая разность четырех множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

KiruXa

1

323

27 май 2014, 23:57

Даны координаты четырех точек

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

karawella

3

219

26 дек 2015, 21:23

Определение диагонали произвольного четырех угольника

в форуме Геометрия

nuget

35

557

22 фев 2017, 12:25

Решение системы из четырех уравнений с тремя неизвест

в форуме Алгебра

Rectus

4

113

18 окт 2016, 23:48

Найти наивероятнейшее число ошибок при четырех измерениях

в форуме Теория вероятностей

LenVanych

2

1618

28 окт 2012, 12:18

Найти вероятность того, что в четырёх независимых испытаниях

в форуме Теория вероятностей

Vlaaad

6

553

14 янв 2012, 13:21

Автомобильный номер состоит из трех букв и четырех цифр

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Sergey25

0

690

19 май 2012, 17:57


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved